Entwurf von linear-quadratischen Gauß-Regelungen (LQG-Entwurf)

Linear-quadratische Gauß-Regelung (LQG-Regelung) ist ein modernes Zustandsraumverfahren für den Entwurf von optimalen dynamischen Reglern und Servoreglern mit Integralverhalten (auch als Sollwert-Tracker bezeichnet). Mit diesem Verfahren können Sie einen Kompromiss zwischen Regelungsleistung bzw. Tracker-Leistung einerseits und Steuerungsaufwand andererseits definieren und Prozessstörungen und Messrauschen berücksichtigen.

Zum Entwerfen von LQG-Reglern und Sollwert-Trackern führen Sie die folgenden Schritte aus:

1. Konstruieren Sie die LQ-optimale Verstärkung.

2. Konstruieren Sie einen Kalman-Filter (Zustandsschätzfunktion).

3. Bilden Sie den LQG-Entwurf, indem Sie die LQ-optimale Verstärkung und den Kalman-Filter verbinden.

Weitere Informationen zur Verwendung eines LQG-Entwurfs zum Erstellen von LQG-Reglern finden Sie unter Entwurf von linear-quadratischen Gauß-Reglern (LQG-Entwurf).

Weitere Informationen zur Verwendung eines LQG-Entwurfs zum Erstellen von LQG-Servoreglern finden Sie unter Entwurf von linear-quadratischen Gauß-Servoreglern (LQG-Entwurf) mit Integralverhalten.

Diese Themen beziehen sich auf zeitkontinuierliche Systeme. Informationen zum zeitdiskreten LQG-Entwurf finden Sie auf den Referenzseiten zu dlqr und kalman.

Entwurf von linear-quadratischen Gauß-Reglern (LQG-Entwurf)

Sie können einen LQG-Regler entwerfen, um den Ausgang y um den Wert null zu regeln.

Die Regelstrecke in diesem Modell ist Störungen (Prozessrauschen) w ausgesetzt und wird durch Regelungen u gesteuert. Zum Generieren dieser Regelungen nutzt der Regler die verrauschten Messwerte y. Die Zustands- und Messgleichungen der Regelstrecke haben die Form

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Gw\\ y=Cx+Du+Hw+v\end{array}$$

und w und v werden als weißes Rauschen modelliert.

Hinweis

Für den LQG-Entwurf ist ein Zustandsraummodell der Regelstrecke erforderlich. Mit ss können Sie andere Modellformate in die Zustandsraumdarstellung konvertieren.

Zum Entwerfen von LQG-Reglern können Sie die Entwurfstechniken in der folgenden Tabelle verwenden.

Zum Entwerfen eines LQG-Reglers mit ...	Verwenden Sie die folgenden Befehle:
Eine schnelle, aus nur einem Schritt bestehende Entwurfstechnik für die folgenden Fälle: Sie benötigen den optimalen LQG-Regler und entweder E(wv') oder H ist ungleich null. Alle bekannten (deterministischen) Eingänge sind Steuerungseingänge und alle Ausgänge werden gemessen. Integrator-Zustände werden unabhängig von den Zuständen der Regelstrecken und Steuerungseingänge gewichtet.	lqg
Eine flexiblere, aus drei Schritten bestehende Entwurfstechnik, mit deren Hilfe die folgenden Elemente angegeben werden können: Beliebiges G und H. Bekannte (deterministische) Eingänge, die keine Regelungen sind, und/oder Ausgänge, die nicht gemessen werden. Ein flexibles Gewichtungsschema für Integrator-Zustände, Regelstreckenzustände und Regelungen.	lqr, kalman und lqgreg Weitere Informationen finden Sie unter Konstruieren der optimalen Zustands-Feedback-Verstärkung für die Regelung Konstruieren der Kalman-Zustandsschätzfunktion Bilden des LQG-Reglers

Konstruieren der optimalen Zustands-Feedback-Verstärkung für die Regelung

Die LQ-optimale Verstärkung können Sie aus den folgenden Elementen konstruieren:

• Zustandsraum-Systemmatrizen

• Gewichtungsmatrizen Q, R und N, die den Kompromiss zwischen Regelungsleistung (wie schnell x(t) gegen null geht) und Steuerungsaufwand definieren.

Um die optimale Verstärkung zu konstruieren, geben Sie den folgenden Befehl ein:

K= lqr(A,B,Q,R,N)

Dieser Befehl berechnet die optimale Verstärkungsmatrix K, für die das Zustands-Feedback-Gesetz $$u=-Kx$$ die folgende quadratische Kostenfunktion für zeitkontinuierliche Systeme minimiert:

$$J(u)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\{x^{T}Qx+2x^{T}Nu+u^{T}Ru\}dt}$$

Zur Berechnung der Verstärkungsmatrix K löst die Software eine algebraische Riccati-Gleichung.

Informationen zum Konstruieren der LQ-optimalen Verstärkung, zum Beispiel zur Kostenfunktion, die die Software für zeitdiskrete Systeme minimiert, finden Sie auf der Referenzseite zu lqr.

Konstruieren der Kalman-Zustandsschätzfunktion

Sie benötigen eine Kalman-Zustandsschätzfunktion für LQG-Regler und LQG-Servoregler, da Sie ohne vollständige Zustandsmessung kein LQ-optimales Zustands-Feedback implementieren können.

Die Zustandsschätzung $$\widehat{x}$$ müssen Sie so konstruieren, dass $$u=-K\widehat{x}$$ für das Ausgangs-Feedback-Problem optimal bleibt. Die Kalman-Zustandsschätzfunktion können Sie aus den folgenden Elementen konstruieren:

• Zustandsraum-Regelstreckenmodell: sys

• Kovarianzdaten für das Rauschen: Qn, Rn und Nn

  Die folgende Abbildung zeigt die erforderlichen Dimensionen für Qn, Rn und Nn. Wenn Nn gleich 0 ist, können Sie dieses Element weglassen.

  Erforderliche Dimensionen für Qn, Rn und Nn

  

Hinweis

Für Regler und Servoregler können Sie die Kalman-Zustandsschätzfunktion auf dieselbe Weise konstruieren.

Um die Kalman-Zustandsschätzfunktion zu konstruieren, geben Sie den folgenden Befehl ein:

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn);

Dieser Befehl berechnet die Kalman-Zustandsschätzfunktion kest mit den folgenden Regelstreckengleichungen:

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Gw\\ y=Cx+Du+Hw+v\end{array}$$

Dabei werden w und v als weißes Rauschen modelliert. L ist die Kalman-Verstärkung und P ist die Kovarianzmatrix.

Die Software generiert diese Zustandsschätzung mithilfe des Kalman-Filters

$$\frac{d}{dt}\widehat{x}=A\widehat{x}+Bu+L(y-C\widehat{x}-Du)$$

mit den Eingängen u (Regelungen) und y (Messwerte). Die Kovarianzdaten für das Rauschen

$$E(w{w}^T)=Q_n,E(v{v}^T)=R_n,E(w{v}^T)=N_n$$

bestimmen die Kalman-Verstärkung L über eine algebraische Riccati-Gleichung.

Der Kalman-Filter ist eine optimale Zustandsschätzfunktion, sofern es um Gaußsches weißes Rauschen geht. Er minimiert insbesondere die asymptotische Kovarianz
$$\underset{t\to \infty }{\lim }$$$$E\left(\left(x-\widehat{x}\right){\left(x-\widehat{x}\right)}^T\right)$$

des Schätzfehlers $$x-\widehat{x}$$.

Weitere Informationen finden Sie auf der Referenzseite zu kalman. Ein vollständiges Beispiel für die Implementierung eines Kalman-Filters finden Sie unter Kalman-Filterung.

Bilden des LQG-Reglers

Um den LQG-Regler zu bilden, verbinden Sie den Kalman-Filter kest und die LQ-optimale Verstärkung K, indem Sie den folgenden Befehl eingeben:

regulator = lqgreg(kest, K);

Dieser Befehl bildet den LQG-Regler, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Der Regler wird durch die folgenden Zustandsraumgleichungen beschrieben:

$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\widehat{x}=[A-LC-(B-LD)K]\widehat{x}+Ly\\ u=-K\widehat{x}\end{array}$$

Weitere Informationen zum Bilden von LQG-Reglern finden Sie unter lqgreg und LQG Regulation: Rolling Mill Case Study.

Entwurf von linear-quadratischen Gauß-Servoreglern (LQG-Entwurf) mit Integralverhalten

Einen Servoregler mit Integralverhalten können Sie für das folgende Modell entwerfen:

Der Servoregler, den Sie entwerfen, gewährleistet, dass der Ausgang y den Referenzbefehl r verfolgt, während die Prozessstörungen w und das Messrauschen v unterdrückt werden.

Die Regelstrecke in der vorherigen Abbildung ist Störungen w ausgesetzt und wird durch Regelungen u gesteuert. Zum Generieren dieser Regelungen nutzt der Servoregler die verrauschten Messwerte y. Die Zustands- und Messgleichungen der Regelstrecke haben die Form

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Gw\\ y=Cx+Du+Hw+v\end{array}$$

und w und v werden als weißes Rauschen modelliert.

Hinweis

Für den LQG-Entwurf ist ein Zustandsraummodell der Regelstrecke erforderlich. Mit ss können Sie andere Modellformate in die Zustandsraumdarstellung konvertieren.

Zum Entwerfen von LQG-Servoreglern können Sie die Entwurfstechniken in der folgenden Tabelle verwenden.

Zum Entwerfen eines LQG-Servoreglers mit ...	Verwenden Sie die folgenden Befehle:
Eine schnelle, aus nur einem Schritt bestehende Entwurfstechnik für die folgenden Fälle: Sie benötigen den optimalen LQG-Regler und entweder E(wv') oder H ist ungleich null. Alle bekannten (deterministischen) Eingänge sind Steuerungseingänge und alle Ausgänge werden gemessen. Integrator-Zustände werden unabhängig von den Zuständen der Regelstrecken und Steuerungseingänge gewichtet.	lqg
Eine flexiblere, aus drei Schritten bestehende Entwurfstechnik, mit deren Hilfe die folgenden Elemente angegeben werden können: Beliebiges G und H. Bekannte (deterministische) Eingänge, die keine Regelungen sind, und/oder Ausgänge, die nicht gemessen werden. Ein flexibles Gewichtungsschema für Integrator-Zustände, Regelstreckenzustände und Regelungen.	lqi, kalman und lqgtrack Weitere Informationen finden Sie unter Konstruieren der optimalen Zustands-Feedback-Verstärkung für Servoregler Konstruieren der Kalman-Zustandsschätzfunktion Bilden des LQG-Servoreglers

Konstruieren der optimalen Zustands-Feedback-Verstärkung für Servoregler

Die LQ-optimale Verstärkung können Sie aus den folgenden Elementen konstruieren:

• Zustandsraum-Regelstreckenmodell: sys

• Gewichtungsmatrizen Q, R und N, die den Kompromiss zwischen Tracker-Leistung und Steuerungsaufwand definieren

Um die optimale Verstärkung zu konstruieren, geben Sie den folgenden Befehl ein:

K= lqi(sys,Q,R,N)

Dieser Befehl berechnet die optimale Verstärkungsmatrix K, für die das Zustands-Feedback-Gesetz $$u=-Kz=-K[x;x_i]$$ die folgende quadratische Kostenfunktion für zeitkontinuierliche Systeme minimiert:

$$J(u)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left\{z^{T}Qz+u^{T}Ru+2z^{T}Nu\right\}dt}$$

Zur Berechnung der Verstärkungsmatrix K löst die Software eine algebraische Riccati-Gleichung.

Informationen zum Konstruieren der LQ-optimalen Verstärkung, zum Beispiel zur Kostenfunktion, die die Software für zeitdiskrete Systeme minimiert, finden Sie auf der Referenzseite zu lqi.

Konstruieren der Kalman-Zustandsschätzfunktion

Sie benötigen eine Kalman-Zustandsschätzfunktion für LQG-Regler und LQG-Servoregler, da Sie ohne vollständige Zustandsmessung kein LQ-optimales Zustands-Feedback implementieren können.

Die Zustandsschätzung $$\widehat{x}$$ müssen Sie so konstruieren, dass $$u=-K\widehat{x}$$ für das Ausgangs-Feedback-Problem optimal bleibt. Die Kalman-Zustandsschätzfunktion können Sie aus den folgenden Elementen konstruieren:

• Zustandsraum-Regelstreckenmodell: sys

• Kovarianzdaten für das Rauschen: Qn, Rn und Nn

  Die folgende Abbildung zeigt die erforderlichen Dimensionen für Qn, Rn und Nn. Wenn Nn gleich 0 ist, können Sie dieses Element weglassen.

  Erforderliche Dimensionen für Qn, Rn und Nn

  

Hinweis

Für Regler und Servoregler können Sie die Kalman-Zustandsschätzfunktion auf dieselbe Weise konstruieren.

Um die Kalman-Zustandsschätzfunktion zu konstruieren, geben Sie den folgenden Befehl ein:

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn);

Dieser Befehl berechnet die Kalman-Zustandsschätzfunktion kest mit den folgenden Regelstreckengleichungen:

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Gw\\ y=Cx+Du+Hw+v\end{array}$$

Dabei werden w und v als weißes Rauschen modelliert. L ist die Kalman-Verstärkung und P ist die Kovarianzmatrix.

Die Software generiert diese Zustandsschätzung mithilfe des Kalman-Filters

$$\frac{d}{dt}\widehat{x}=A\widehat{x}+Bu+L(y-C\widehat{x}-Du)$$

mit den Eingängen u (Regelungen) und y (Messwerte). Die Kovarianzdaten für das Rauschen

$$E(w{w}^T)=Q_n,E(v{v}^T)=R_n,E(w{v}^T)=N_n$$

bestimmen die Kalman-Verstärkung L über eine algebraische Riccati-Gleichung.

Der Kalman-Filter ist eine optimale Zustandsschätzfunktion, sofern es um Gaußsches weißes Rauschen geht. Er minimiert insbesondere die asymptotische Kovarianz
$$\underset{t\to \infty }{\lim }$$$$E\left(\left(x-\widehat{x}\right){\left(x-\widehat{x}\right)}^T\right)$$

des Schätzfehlers $$x-\widehat{x}$$.

Weitere Informationen finden Sie auf der Referenzseite zu kalman. Ein vollständiges Beispiel für die Implementierung eines Kalman-Filters finden Sie unter Kalman-Filterung.

Bilden des LQG-Servoreglers

Um einen LQG-Servoregler mit zwei Freiheitsgraden zu bilden, verbinden Sie den Kalman-Filter kest und die LQ-optimale Verstärkung K, indem Sie den folgenden Befehl eingeben:

servocontroller = lqgtrack(kest, K);

Dieser Befehl bildet den LQG-Servoregler, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Der Servoregler wird durch die folgenden Zustandsraumgleichungen beschrieben:

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}\dot{\widehat{x}}\\ {\dot{x}}_i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A-B{K}_x-LC+LD{K}_x& -B{K}_i+LD{K}_i\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{x}\\ x_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& L\\ I& -I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}r\\ y\end{array}\right]\\ u=\left[\begin{array}{cc}-K_x& -K_i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{x}\\ x_i\end{array}\right]\end{array}$$

Weitere Informationen zum Bilden von LQG-Servoreglern, zum Beispiel zum Bilden eines LQG-Servoreglers mit einem Freiheitsgrad, finden Sie auf der Referenzseite zu lqgtrack.

Siehe auch

lqg | lqr | kalman | lqgtrack | lqi | lqgreg

Verwandte Themen

• Kalman-Filterung
• Entwurf eines LQG-Reglers
• Entwurf eines LQG-Servoreglers
• Entwurf eines LQR-Servoreglers in Simulink