lqr

Entwurf eines linear-quadratischen Reglers (LQR)

Syntax

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R,N)

[K,S,P] = lqr(A,B,Q,R,N)

Beschreibung

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R,N) berechnet die optimale Verstärkungsmatrix K, die Lösung S der zugehörigen algebraischen Riccati-Gleichung und die Polstellen P des geschlossenen Regelkreises für das zeitkontinuierliche oder zeitdiskrete Zustandsraummodell sys. Q und R sind die Gewichtsmatrizen für Zustände bzw. Eingaben. Die Kreuzterm-Matrix N wird auf Null gesetzt, wenn sie weggelassen wird.

[K,S,P] = lqr(A,B,Q,R,N) berechnet die optimale Verstärkungsmatrix K, die Lösung S der zugehörigen algebraischen Riccati-Gleichung und die Polstellen P des geschlossenen Regelkreises unter Verwendung der zeitkontinuierlichen Zustandsraummatrizen A und B. Diese Syntax ist nur für zeitkontinuierliche Modelle gültig. Verwenden Sie dlqr für zeitdiskrete Modelle.

Beispiele

LQR-Steuerung für das Modell eines inversen Pendels

pendulumModelCart.mat enthält das Zustandsraummodell eines inversen Pendels auf einem Wagen, wobei die Ausgänge die Wagenverschiebung x und der Pendelwinkel $\theta$ sind. Der Steuereingang u ist die horizontale Kraft auf den Wagen.

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \underset{}{\overset{¨}{x}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\\ \underset{}{\overset{¨}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& -0.1& 3& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& -0.5& 30& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \theta \\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\\ 5\end{array}\right]u\\ y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \theta \\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]u\end{array}$$

Laden Sie zunächst das Zustandsraummodell sys in den Workspace.

load('pendulumCartModel.mat','sys')

Da die Ausgaben x und $\theta$ sind und es nur eine Eingabe gibt, verwenden Sie die Bryson-Regel, um Q und R zu bestimmen.

Q = [1,0,0,0;...
    0,0,0,0;...
    0,0,1,0;...
    0,0,0,0];
R = 1;

Ermitteln Sie die Verstärkungsmatrix K mit lqr. Da N nicht angegeben ist, setzt lqr N auf 0.

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R)

K = 1×4

   -1.0000   -1.7559   16.9145    3.2274

S = 4×4

    1.5346    1.2127   -3.2274   -0.6851
    1.2127    1.5321   -4.5626   -0.9640
   -3.2274   -4.5626   26.5487    5.2079
   -0.6851   -0.9640    5.2079    1.0311

P = 4×1 complex

  -0.8684 + 0.8523i
  -0.8684 - 0.8523i
  -5.4941 + 0.4564i
  -5.4941 - 0.4564i

Die Bryson-Regel liefert zwar normalerweise zufriedenstellende Ergebnisse, sie ist jedoch oft nur der Ausgangspunkt eines iterativen Trial-and-Error-Entwurfsverfahrens, mit dem Sie die Reaktion Ihres geschlossenen Systems auf der Grundlage der Entwurfsanforderungen abstimmen.

LQR-Steuerung mit Zustandsraum-Matrizen

aircraftPitchModel.mat enthält die Zustandsraum-Matrizen eines Luftfahrzeugs, wobei der Eingang der Höhenruder-Ausschlagswinkel $\delta$ und der Ausgang der Neigungswinkel $\theta$ des Luftfahrzeugs ist.

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{\alpha }}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{q}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-0.313& 56.7& 0\\ -0.0139& -0.426& 0\\ 0& 56.7& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ q\\ \theta \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.232\\ 0.0203\\ 0\end{array}\right]\left[\delta \right]\\ y=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ q\\ \theta \end{array}\right]+\left[0\right]\left[\delta \right]\end{array}$$

Berücksichtigen Sie bei einer Sprungreferenz von 0,2 Radiant die folgenden Entwurfskriterien:

• Anstiegszeit weniger als 2 Sekunden

• Einschwingzeit weniger als 10 Sekunden

• Fehler im stationären Zustand weniger als 2%

Laden Sie die Modelldaten in den Workspace.

load('aircraftPitchModel.mat')

Definieren Sie die gewichtete Zustandskosten-Matrix Q und die gewichtete Kontrollmatrix R. Im Allgemeinen können Sie die Bryson-Regel verwenden, um Ihre anfänglichen gewichteten Matrizen Q und R zu definieren. Für dieses Beispiel betrachten Sie den Ausgangsvektor C zusammen mit einem Skalierungsfaktor von 2 für die Matrix Q und setzen Sie R gleich 1. R ist ein Skalar, da das System nur einen Eingang hat.

R = 1

R = 
1

Q1 = 2*C'*C

Q1 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     2

Berechnen Sie mit lqr die Verstärkungsmatrix.

[K1,S1,P1] = lqr(A,B,Q1,R);

Prüfen Sie die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises mit der erzeugten Verstärkungsmatrix K1.

sys1 = ss(A-B*K1,B,C,D);
step(sys1)

Da diese Antwort nicht den Entwurfszielen entspricht, erhöhen Sie den Skalierungsfaktor auf 25, berechnen Sie die Verstärkungsmatrix K2 und überprüfen Sie die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises für die Verstärkungsmatrix K2.

Q2 = 25*C'*C

Q2 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0    25

[K2,S2,P2] = lqr(A,B,Q2,R);
sys2 = ss(A-B*K2,B,C,D);
step(sys2)

Im Diagramm der Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises erfüllen die Anstiegszeit, die Einschwingzeit und der stationäre Fehler jetzt die Entwurfsziele.

Eingabeargumente

sys — Dynamisches Systemmodell

ss-Modellobjekt

Dynamisches Systemmodell, angegeben als ss-Modellobjekt.

A — Zustandsmatrix

n-mal-n-Matrix

Zustandsmatrix, angegeben als n-mal-n-Matrix, wobei n die Anzahl der Zustände ist.

B — Eingang-zu-Zustands-Matrix

n-mal-m-Matrix

Eingang-zu-Zustands-Matrix, angegeben als eine n-mal-m-Eingang-zu-Zustands-Matrix, wobei m die Anzahl der Eingänge ist.

Q — Gewichtete Zustandskosten-Matrix

Matrix

Gewichtete Zustandskosten-Matrix, angegeben als n-mal-n-Matrix, wobei n die Anzahl der Zustände ist. Sie können die Bryson-Regel verwenden, um die Anfangswerte von Q wie folgt festzulegen:

$$\begin{array}{l}{Q}_{i,i}=\frac{1}{\text{maximum acceptable value of }{\left(erro{r}_{states}\right)}^2},\text{ i}\in \left\{1,2,\mathrm{...},n\right\}\\ Q=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_{1,1}& 0& \cdots & 0\\ 0& Q_{2,2}& \cdots & 0\\ 0& 0& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & Q_{n,n}\end{array}\right]\end{array}$$

Dabei n ist hier die Anzahl der Zustände.

R — Gewichtete Eingangskosten-Matrix

Skalar | Matrix

Gewichtete Eingangskosten-Matrix, angegeben als Skalar oder als Matrix mit der gleichen Größe wie D'D. Hier ist D die Durchleitungs-Zustandsraum-Matrix. Sie können die Bryson-Regel verwenden, um die Anfangswerte von R wie folgt festzulegen:

$$\begin{array}{l}{R}_{j,j}=\frac{1}{\text{maximum acceptable value of }{\left(erro{r}_{inputs}\right)}^2},\text{ j}\in \left\{1,2,\mathrm{...},m\right\}\\ R=\left[\begin{array}{cccc}{R}_{1,1}& 0& \cdots & 0\\ 0& R_{2,2}& \cdots & 0\\ 0& 0& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & R_{m,m}\end{array}\right]\end{array}$$

Dabei m ist hier die Anzahl der Eingänge.

N — Optionale Kreuzterm-Matrix

0 (Standardeinstellung) | Matrix

Optionale Kreuzterm-Matrix, angegeben als Matrix. Falls N nicht angegeben ist, setzt lqr N standardmäßig auf 0.

Ausgangsargumente

K — Optimale Verstärkung

Zeilenvektor

Optimale Verstärkung des geschlossenen Regelkreises, geliefert als Zeilenvektor der Größe n, wobei n die Anzahl der Zustände ist.

S — Lösung der zugehörigen algebraischen Riccati-Gleichung

Matrix

Lösung der zugehörigen algebraischen Riccati-Gleichung, geliefert als n-mal-n-Matrix, wobei n die Anzahl der Zustände ist. Mit anderen Worten: S hat die gleiche Dimension wie die Zustandsraum-Matrix A. Weitere Informationen finden Sie unter icare und idare.

P — Polstellen des geschlossenen Regelkreises

Spaltenvektor

Polstellen des geschlossenen Regelkreises, geliefert als Spaltenvektor der Größe n, wobei n die Anzahl der Zustände ist.

Beschränkungen

Die Eingangsdaten müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:

• Das Paar (A,B) muss stabilisierbar sein.

• R muss positiv definit sein.

• $$\left[\begin{array}{cc}Q& N\\ N^T& R\end{array}\right]$$ muss positiv semi-definit (Äquivalent zu $$Q-N{R}^{-1}{N}^T\ge 0$$) sein.

• $$(Q-N{R}^{-1}{N}^T,A-B{R}^{-1}{N}^T)$$ darf keinen unbeobachtbaren Modus auf der imaginären Achse (oder Einheitskreis in diskreter Zeit) haben.

Tipps

• lqr unterstützt Deskriptor-Modelle mit nichtsingulärem E. Der Ausgang S von lqr ist die Lösung der algebraischen Riccati-Gleichung für das äquivalente explizite Zustandsraummodell:

  $$\frac{dx}{dt}=E^{-1}Ax+E^{-1}Bu$$

Algorithmen

Für zeitkontinuierliche Systeme berechnet lqr die Zustands-Feedback-Steuerung $$u=-Kx$$, die die quadratische Kostenfunktion

$$J(u)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }(x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu)dt}$$

abhängig von der Systemdynamik $$\dot{x}=Ax+Bu$$ minimiert.

Zusätzlich zur Zustands-Feedback-Verstärkung K liefert lqr die Lösung S der zugehörigen algebraischen Riccati-Gleichung

$$A^{T}S+SA-(SB+N)R^{-1}(B^{T}S+N^T)+Q=0$$

und die Polstellen des geschlossenen Regelkreises $$P=eig\left(A-BK\right)$$. Die Verstärkungsmatrix K wird aus S abgeleitet mit

$$K=R^{-1}(B^{T}S+N^T).$$

Für zeitdiskrete Systeme berechnet lqr die Zustands-Feedback-Steuerung $$u_n=-K{x}_n$$, die

$$J={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\{x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu\}}$$

abhängig von der Systemdynamik $$x_{n+1}=A{x}_n+B{u}_n$$ minimiert.

In allen Fällen, in denen Sie die Kreuzterm-Matrix N weglassen, setzt lqr N auf 0.

Versionsverlauf

Eingeführt vor R2006a

Siehe auch

icare | idare | dlqr | lqg | lqi | lqrd | lqry | lqgreg | lqgtrack

Themen

• Regulate Pressure in Drum Boiler