lqi

Linear-quadratisch-integrale Steuerung

Syntax

[K,S,e] = lqi(SYS,Q,R,N)


Beschreibung

lqi berechnet ein optimales Zustands-Feedback-Steuerungsgesetz für die in der folgenden Abbildung gezeigte Nachführschleife.

Für eine Regelstrecke sys mit den Zustandsraumgleichungen (oder ihrem diskreten Gegenstück)

$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

hat die Zustands-Feedback-Steuerung die Form

$$u=-K[x;x_i]$$

, wobei x_i die Ausgabe des Integrators ist. Dieses Steuerungsgesetz stellt sicher, dass der Ausgang y dem Referenzbefehl r folgt. Bei MIMO-Systemen entspricht die Anzahl der Integratoren der Dimension des Ausgangs y.

[K,S,e] = lqi(SYS,Q,R,N) berechnet die optimale Verstärkungsmatrix K, wenn ein Zustandsraummodell SYS für die Regelstrecke sowie die Gewichtungsmatrizen Q, R und N gegeben sind. Das Steuerungsgesetz u = –Kz = –K[x;x_i] minimiert die folgenden Kostenfunktionen (für r = 0)

• $$J(u)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\{z^{T}Qz+u^{T}Ru+2z^{T}Nu\}dt}$$ bei kontinuierlicher Zeit

• $$J(u)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\{z^{T}Qz+u^{T}Ru+2z^{T}Nu\}}$$ bei diskreter Zeit

In diskreter Zeit berechnet lqi den Integratorausgang x_i unter Verwendung der Eulerschen Vorwärtsformel

$$x_i[n+1]=x_i[n]+Ts(r[n]-y[n])$$

wobei Ts die Abtastzeit von SYS ist.

Wenn Sie die Matrix N weglassen, wird N auf 0 gesetzt. lqi liefert auch die Lösung S der zugehörigen algebraischen Riccati-Gleichung und die Eigenwerte e des geschlossenen Regelkreises.

Beschränkungen

Für das folgende Zustandsraumsystem mit einer Regelstrecke mit augmentiertem Integrator:

$$\begin{array}{l}\frac{\delta z}{\delta t}=A_{a}z+B_{a}u\\ y=C_{a}z+D_{a}u\end{array}$$

Die Problemdaten müssen folgende Bedingungen erfüllen:

• Das Paar (A,B) muss stabilisierbar sein.

• R muss positiv definit sein.

• $$\left[\begin{array}{cc}Q& N\\ N^T& R\end{array}\right]$$ muss positiv semi-definit (Äquivalent zu $$Q-N{R}^{-1}{N}^T\ge 0$$) sein.

• $$\left(Q-N{R}^{-1}{N}^T,A_a-B_a{R}^{-1}{N}^T\right)$$ darf keinen unbeobachtbaren Modus auf der imaginären Achse (oder Einheitskreis in diskreter Zeit) haben.

Tipps

lqi unterstützt Deskriptor-Modelle mit nichtsingulärem E. Der Ausgang S von lqi ist die Lösung der algebraischen Riccati-Gleichung für das äquivalente explizite Zustandsraummodell

$$\frac{dx}{dt}=E^{-1}Ax+E^{-1}Bu$$

Referenzen

[1] P. C. Young and J. C. Willems, "An approach to the linear multivariable servomechanism problem", International Journal of Control, Volume 15, Issue 5, May 1972 , pages 961–979.

Versionsverlauf

Eingeführt in R2008b

Siehe auch

lqr | lqgreg | lqgtrack | lqg | care | dare