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se3

SE(3) homogene Transformation

Seit R2022b

Beschreibung

Das se3-Objekt repräsentiert eine SE(3)-Transformation als 3-D homogene Transformationsmatrix bestehend aus einer Translation und Rotation für ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem.

Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt 3-D homogene Transformationsmatrix.

Dieses Objekt fungiert als numerische Matrix, mit der Sie Posen durch Multiplikation und Division zusammenstellen können.

Erstellung

Syntax

transformation = se3

transformation = se3(rotation)

transformation = se3(rotation,translation)

transformation = se3(transformation)

transformation = se3(euler,"eul")

transformation = se3(euler,"eul",sequence)

transformation = se3(quat,"quat")

transformation = se3(quaternion)

transformation = se3(axang,"axang")

transformation = se3(angle,axis)

transformation = se3(___,translation)

transformation = se3(translation,"trvec")

transformation = se3(pose,"xyzquat")

Beschreibung

Rotationsmatrizen, Translationsvektoren und Transformationsmatrizen

transformation = se3 erstellt eine SE(3)-Transformation, die eine Identitätsrotation ohne Translation darstellt.

$$transformation=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

transformation = se3(rotation) erstellt eine SE(3)-Transformation, die eine reine Rotation darstellt, die durch die orthonormale Rotation rotation ohne Translation definiert ist. Die Rotationsmatrix wird durch die Elemente oben links in der transformation-Matrix dargestellt.

$$rotation=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{11}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$

$$transformation=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& 0\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& 0\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

transformation = se3(rotation,translation) erstellt eine SE(3)-Transformation, die eine Rotation darstellt, die durch die orthonormale Rotation rotation und die Translation translation definiert ist. Die Funktion wendet zuerst die Rotationsmatrix und dann den Translationsvektor an, um die Transformation zu erstellen.

$$rotation=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{11}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$, $$translation=\left[\begin{array}{c}{t}_1\\ t_2\\ t_3\end{array}\right]$$

$$transformation=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_1\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_2\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_1\\ 0& 1& 0& t_2\\ 0& 0& 1& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]·\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& 0\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& 0\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

transformation = se3(transformation) erstellt eine SE(3)-Transformation, die eine Translation und Rotation darstellt, wie sie durch die homogene Transformation transformation definiert ist.

Andere 3D-Rotationsdarstellungen

transformation = se3(euler,"eul") erstellt eine SE(3)-Transformation aus den durch die Euler-Winkel euler definierten Rotationen.

transformation = se3(euler,"eul",sequence) gibt die Folge der Euler-Winkelrotationen sequence an. Beispielsweise rotiert die Sequenz "ZYX" die z-Achse, dann die y-Achse und dann die x-Achse.

transformation = se3(quat,"quat") erstellt eine SE(3)-Transformation aus den durch die numerischen Quaternionen quat definierten Rotationen.

transformation = se3(quaternion) erstellt eine SE(3)-Transformation aus den durch den Quaternion quaternion definierten Rotationen.

transformation = se3(axang,"axang") erstellt eine SE(3)-Transformation aus den Rotationen, die durch die Achsenwinkelrotation axang definiert sind.

transformation = se3(angle,axis) erstellt eine SE(3)-Transformation aus den Rotationen angles um die Rotationsachse axis .

transformation = se3(___,translation) erstellt eine SE(3)-Transformation aus dem Translationsvektor translation zusammen mit allen anderen Rotationseingabeargumenten.

Andere Übersetzungen und Transformationsdarstellungen

transformation = se3(translation,"trvec") erstellt eine SE(3)-Transformation aus dem Translationsvektor translation .

transformation = se3(pose,"xyzquat") erstellt eine SE(3)-Transformation aus der 3D-Kompaktpose pose.

Hinweis

Wenn eine der Eingaben mehr als eine Drehung, Verschiebung oder Transformation enthält, dann ist die Ausgabe transformation ein N-Element-Array von se3-Objekten, die den einzelnen N-Eingabedrehungen, -verschiebungen oder -transformationen entsprechen.

Eingabeargumente

rotation — Orthonormale Drehung

3x3-Matrix | 3-mal-3-mal-N-Matrix | so3-Objekt | N-Element-Array von so3-Objekten

Orthonormale Rotation, angegeben als 3x3-Matrix, 3x3 x N-Array, skalares so3-Objekt oder N-Element-Array von so3-Objekten. N ist die Gesamtzahl der Rotationen.

Wenn rotation mehr als eine Rotation enthält und Sie bei der Konstruktion auch translation angeben, muss die Anzahl der Translationen in translation eins oder gleich der Anzahl der Rotationen in rotation sein. Die resultierende Anzahl von Transformationsobjekten entspricht dem Wert des Arguments translation oder rotation, je nachdem, welcher größer ist.

Beispiel: eye(3)

Datentypen: single | double

translation — Übersetzung

dreielementiger Zeilenvektor | N-mal-3-Matrix

Übersetzung, angegeben als Zeilenvektor mit drei Elementen oder als N-mal-3-Array. N ist die Gesamtzahl der Übersetzungen und jede Übersetzung hat die Form [x y z].

Wenn translation mehr als eine Übersetzung enthält, muss die Anzahl der Rotationen in rotation eins oder gleich der Anzahl der Übersetzungen in translation sein. Die resultierende Anzahl der erstellten Transformationsobjekte entspricht dem Wert des Arguments translation oder rotation, je nachdem, welcher größer ist.

Beispiel: [1 4 3]

Datentypen: single | double

transformation — Homogene Transformation

4x4-Matrix | 4-mal-4-mal-N-Array | se3-Objekt | N-Element-Array von se3-Objekten

Homogene Transformation, angegeben als 4x4-Matrix, 4x 4x N-Array, skalares se3-Objekt oder N-Element-Array von se3-Objekten. N ist die Gesamtzahl der angegebenen Transformationen.

Wenn transformation ein Array ist, ist die resultierende Anzahl der erstellten se3-Objekte gleich N.

Beispiel: eye(4)

Datentypen: single | double

quaternion — Quaternion

quaternion-Objekt | N-Element-Array von quaternion-Objekten

Quaternion, angegeben als skalares quaternion-Objekt oder als N-Element-Array von quaternion-Objekten. N ist die Gesamtzahl der angegebenen Quaternionen.

Wenn quaternion ein Array mit N-Elementen ist, ist die resultierende Anzahl der erstellten se3-Objekte gleich N.

Beispiel: quaternion(1,0.2,0.4,0.2)

euler — Euler-Winkel

N-mal-3-Matrix

Euler-Winkel, angegeben als N-mal-3-Matrix, im Bogenmaß. Jede Zeile stellt einen Satz Euler-Winkel mit der durch das Argument sequence definierten Achsenrotationssequenz dar. Die Standardsequenz für die Achsenrotation ist ZYX.

Wenn euler eine N-mal-3-Matrix ist, ist die resultierende Anzahl der erstellten se3-Objekte gleich N.

Beispiel: [pi/2 pi pi/4]

Datentypen: single | double

sequence — Achsenrotationssequenz

"ZYX" (Standardeinstellung) | "ZYZ" | "ZXY" | "ZXZ" | "YXY" | "YZX" | "YXZ" | "YZY" | "XYX" | "XYZ" | "XZX" | "XZY"

Achsenrotationssequenz für die Euler-Winkel, angegeben als einer dieser String-Skalare:

• "ZYX" (Standard)

• "ZYZ"

• "ZXY"

• "ZXZ"

• "YXY"

• "YZX"

• "YXZ"

• "YZY"

• "XYX"

• "XYZ"

• "XZX"

• "XZY"

Dies sind orthonormale Rotationsmatrizen für Rotationen von ϕ, ψ und θ um die x-, y- bzw. z-Achse:

$$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$, $$R_y(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& \sin \psi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}\right]$$, $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Beim Aufbau der Rotationsmatrix aus dieser Folge gibt jedes Zeichen die entsprechende Achse an. Wenn die Sequenz beispielsweise "XYZ" lautet, erstellt das se3-Objekt die Rotationsmatrix R, indem es die Rotation um die x-Achse mit der Rotation um die y-Achse multipliziert und dieses Produkt anschließend mit der Rotation um die z-Achse multipliziert:

$$R=R_x(\varphi )·R_y(\psi )·R_z(\theta )$$

Beispiel: se3([pi/2 pi/3 pi/4],"eul","ZYZ") dreht einen Punkt um pi/4 Radiant um die z-Achse, dann dreht er den Punkt um pi/3 Radiant um die y-Achse und dann dreht er den Punkt um pi/2 Radiant um die z-Achse. Dies entspricht se3(pi/2,"rotz") * se3(pi/3,"roty") * se3(pi/4,"rotz")

Datentypen: string | char

quat — Numerische Quaternion

N-mal-4-Matrix

Numerischer Quaternion, angegeben als N-mal-4-Matrix. N ist die Anzahl der angegebenen Quaternionen. Jede Zeile stellt einen Quaternion der Form [qw qx qy qz] dar, wobei qw eine Skalarzahl ist.

Wenn quat eine N-mal-4-Matrix ist, ist die resultierende Anzahl der erstellten se3-Objekte gleich N.

Hinweis

Das se3-Objekt normalisiert die Eingabequaternionen, bevor es die Quaternionen in eine Rotationsmatrix konvertiert.

Beispiel: [0.7071 0.7071 0 0]

Datentypen: single | double

axang — Achsenwinkelrotation

N-mal-4-Matrix

Achsenwinkelrotation, angegeben als N-mal-4-Matrix in der Form [x y z theta]. N ist die Gesamtzahl der Achsenwinkelrotationen. x, y und z sind Vektorkomponenten der x-, y- und z-Achse. Der Vektor definiert die um den Winkel theta zu drehende Achse im Bogenmaß.

Wenn axang eine N-mal-4-Matrix ist, ist die resultierende Anzahl der erstellten se3-Objekte gleich N.

Beispiel: [.2 .15 .25 pi/4] dreht die Achse, definiert als 0.2 in der x-Achse, 0.15 entlang der y-Achse und 0.25 entlang der z-Achse, um pi/4 Radiant.

Datentypen: single | double

angle — Einachsige Winkelrotation

N-mal-M-Matrix

Einachsige Winkelrotation, angegeben als N-mal-M-Matrix. Jedes Element der Matrix ist ein Winkel in Radiant um die mit dem Argument axis angegebene Achse, und das se3-Objekt erstellt für jeden Winkel ein se3-Objekt.

Wenn angle eine Nx-M-Matrix ist, ist die resultierende Anzahl der erstellten se3-Objekte gleich N.

Der Drehwinkel ist gegen den Uhrzeigersinn positiv, wenn Sie entlang der angegebenen Achse in Richtung Ursprung blicken.

Datentypen: single | double

axis — Zu drehende Achse

"rotx" | "roty" | "rotz"

Zu drehende Achse, angegeben als eine dieser Optionen:

• "rotx" — Rotieren um die x-Achse:

  $$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$

• "roty" — Rotieren um die y-Achse:

  $$R_y(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & 0& \sin \psi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \psi & 0& \cos \psi \end{array}\right]$$

• "rotz" — Rotieren um die z-Achse:

  $$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Verwenden Sie das Argument angle, um anzugeben, wie stark um die angegebene Achse gedreht werden soll.

Beispiel: Rx = se3(phi,"rotx");

Beispiel: Ry = se3(psi,"roty");

Beispiel: Rz = se3(theta,"rotz");

Datentypen: string | char

pose — 3D-Kompaktpose

N-mal-7-Matrix

3D-Kompaktpose, angegeben als N-mal-7-Matrix, wobei N die Gesamtzahl der Kompaktposen ist. Jede Zeile ist eine Pose, bestehend aus einer xyz-Position und einem Quaternion, in der Form [x y z qw qx qy qz]. x, y und z sind die Positionen in den x-, y- und z-Achsen. qw, qx, qy und qz bilden zusammen die Quaternionenrotation.

Wenn pose eine N-mal-7-Matrix ist, ist die resultierende Anzahl der erstellten se3-Objekte gleich N.

Datentypen: single | double

Objektfunktionen

Mathematische Operationen

mtimes, *	Transformation or rotation multiplication
mrdivide, /	Transformation or rotation right division
rdivide, ./	Element-wise transformation or rotation right division
times, .*	Element-wise transformation or rotation multiplication

Dienstprogramme

interp	Interpolate between transformations
dist	Calculate distance between transformations
normalize	Normalize transformation or rotation matrix
transform	Apply rigid body transformation to points

Numerische Konvertierungen

axang	Convert transformation or rotation into axis-angle rotations
eul	Convert transformation or rotation into Euler angles
rotm	Rotationsmatrix extrahieren
quat	Convert transformation or rotation to numeric quaternion
trvec	Extract translation vector
tform	Homogene Transformation extrahieren
xyzquat	Convert transformation or rotation to compact 3-D pose representation

Objektkonvertierungen

so3	SO(3) rotation
quaternion	Create quaternion array

Beispiele

Erstellen einer SE(3)-Transformation unter Verwendung von Euler-Winkeln und Translation

Definieren Sie eine Euler-Winkelrotation von [pi/2 0 pi/7] mit einer "XYZ"-Rotationssequenz und einer xyz-Translation von [6 4 1].

angles = [pi/2 0 pi/7];
trvec = [6 4 1];

Erstellen Sie eine SE(3)-Transformation unter Verwendung der Euler-Winkel und der Translation.

TF = se3(angles,"eul","XYZ",trvec)

TF = se3
    0.9010   -0.4339         0    6.0000
    0.0000    0.0000   -1.0000    4.0000
    0.4339    0.9010    0.0000    1.0000
         0         0         0    1.0000

Algorithmen

3-D homogene Transformationsmatrix

3-D homogene Transformationsmatrizen bestehen sowohl aus einer SO(3)-Rotation als auch einer xyz-Translation.

Weitere Informationen zu SO(3)-Rotationen finden Sie im Abschnitt 3-D Orthonormal Rotation Matrix des Objekts so3.

Die Translation erfolgt entlang der x-, y- und z-Achsen als dreielementiger Spaltenvektor:

$$t=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

Die SO(3)-Rotationsmatrix R wird auf den Translationsvektor t angewendet, um die homogene Translationsmatrix T zu erstellen. Die Rotationsmatrix befindet sich oben links in der Transformationsmatrix als 3x3-Untermatrix und der Translationsvektor ist als dreielementiger Vektor in der letzten Spalte vorhanden.

$$T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0_{1x3}& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I}_3& t\\ 0_{1x3}& 1\end{array}\right]·\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0_{1x3}& 1\end{array}\right]$$

Erweiterte Fähigkeiten

C/C++ Codegenerierung
Generieren Sie C und C++ Code mit MATLAB® Coder™.

Versionsverlauf

Eingeführt in R2022b

R2023a: Neue Methoden und Syntaxen

se3 unterstützt neue Methoden und Syntaxen für die Konvertierung in und aus anderen Transformationen und Rotationen.

Die neuen Methoden sind:

• axang

• eul

• so3

• quat

• quaternion

• xyzquat

Siehe auch

Funktionen

• axang2tform | eul2tform | quat2tform | rotm2tform | trvec2tform | plotTransforms

Objekte

• se2 | so2 | so3 | quaternion