Was sind Wavelet-Transformationen?

Wavelet-Transformationen sind mathematische Tools zur Analyse von Daten, deren Merkmale über mehrere Skalen variieren. Bei Signalen können die Merkmale zeitlich veränderliche Frequenzen, Transienten oder sich langsam verändernde Verläufe sein. Zu den Merkmalen für Bilder gehören auch Kanten und Texturen. Wavelet-Transformationen wurden in erster Linie entwickelt, um die Grenzen der Fourier-Transformation zu überwinden.

Während die Fourier-Analyse darin besteht, ein Signal in Sinuswellen bestimmter Frequenzen zu zerlegen, basiert die Wavelet-Analyse auf der Unterteilung von Signalen in verschobene und skalierte Versionen eines Wavelet. Ein Wavelet ist, im Gegensatz zu einer Sinuswelle, eine schnell zerfallende, wellenförmige Oszillation. Dies ermöglicht es Wavelets, Daten über mehrere Skalen hinweg darzustellen. Je nach Anwendungsgebiet können verschiedene Wavelets genutzt werden. Die Wavelet Toolbox™ zur Verwendung mit MATLAB^® unterstützt Morlet, Morse, Daubechies und andere Wavelets, die in der Wavelet-Analyse zum Einsatz kommen.

Audiosignale, Zeitreihen von Finanzdaten und biomedizinische Signale zeigen typischerweise ein stückweise gleichmäßiges Verhalten, das von Transienten begleitet wird. Ebenso enthalten Bilder typischerweise homogene, stückweise gleichmäßige Bereiche, die durch Transienten, die als Kanten erscheinen, getrennt sind.  Bei Signalen und Bildern können die glatten Bereiche und Transienten mit Wavelet-Transformationen vereinfacht dargestellt werden.

Wavelet-Transformationen lassen sich in zwei große Gruppen einteilen: die kontinuierliche Wavelet-Transformation (CWT) und die diskrete Wavelet-Transformation (DWT).

Die kontinuierliche Wavelet-Transformation stellt eine Zeit-Frequenz-Transformation dar, die sich ideal für die Analyse von nichtstationären Signalen eignet. Ein nichtstationäres Signal ist dadurch gekennzeichnet, dass sich seine Darstellung im Frequenzbereich mit der Zeit ändert. Die CWT ist vergleichbar mit der Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT). STFT verwendet ein festes Fenster, um eine lokale Frequenzanalyse zu erstellen, während CWT die Zeit-/Frequenzebene mit Fenstern variabler Größe darstellt. Das Fenster wird mit der Zeit breiter und eignet sich daher für Phänomene mit niedrigen Frequenzen, während es für hochfrequente Phänomene schmaler wird. Die kontinuierliche Wavelet-Transformation kann zur Analyse von transientem Verhalten, schnell wechselnden Frequenzen und langsam variierendem Verhalten verwendet werden.

Bei der diskreten Wavelet-Transformation werden die Skalen gröber diskretisiert als bei der CWT. Dies ermöglicht die Verwendung der DWT zur Komprimierung und Rauschunterdrückung von Signalen und Bildern unter Beibehaltung wichtiger Merkmale. Mithilfe von diskreten Wavelet-Transformationen lassen sich Multiskalenanalysen durchführen und Signale in physikalisch sinnvolle und interpretierbare Komponenten einteilen.

Weitere Informationen zur Anwendung von Wavelet-Techniken und zur Auswahl der richtigen Wavelets für Ihre Anwendung in MATLAB finden Sie hier Wavelet Toolbox.