Kontinuierliche Wavelet-Transformation und skalenbasierte Analyse

Definition der kontinuierlichen Wavelet-Transformation

Wie die Fourier-Transformation nutzt die kontinuierliche Wavelet-Transformation (Continuous Wavelet Transform, CWT) Skalarprodukte, um die Ähnlichkeit zwischen einem Signal und einer analysierenden Funktion zu messen. Bei der Fourier-Transformation sind die analysierenden Funktionen komplexe Exponenten $$e^{j\omega t}$$. Die daraus resultierende Transformation ist eine Funktion einer einzelnen Variable: ω. Bei der Kurzzeit-Fourier-Transformation (Short-Time Fourier Transform, STFT) sind die analysierenden Funktionen „gefensterte“ komplexe Exponenten ($$w(t)e^{j\omega t}$$), und das Ergebnis ist eine Funktion zweier Variablen. Die STFT-Koeffizienten $$F(\omega ,\tau ),$$ stellen die Übereinstimmung von dem Signal und einer Sinuskurve mit Kreisfrequenz ω in einem Intervall einer bestimmten Länge dar, das bei τ zentriert ist.

Bei der CWT ist die analysierende Funktion ein Wavelet, ψ. Die CWT vergleicht das Signal mit verschobenen und komprimierten oder gestreckten Versionen eines Wavelets. Das Strecken oder Komprimieren einer Funktion wird zusammen als Dilatation oder Skalierung bezeichnet und bezieht sich auf die Skalierung im physikalischen Sinn. Indem das Signal bei verschiedenen Skalierungen und an verschiedenen Positionen mit dem Wavelet verglichen wird, erhalten Sie eine Funktion mit zwei Variablen. Die 2D-Darstellung eines 1D-Signals ist redundant. Ist das Wavelet komplexwertig, ist die CWT eine komplexwertige Funktion von Skalierung und Position. Bei einem reellwertigen Signal ist die CWT eine reellwertige Funktion von Skalierung und Position. Für den Skalierungsparameter a>0 und die Position b ist die CWT:

$$C(a,b;f(t),\psi (t))={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f}(t)\frac{1}{a}{\psi }^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$$

wobei $$*$$ den komplexen konjugierten Wert bezeichnet. Nicht nur die Werte von Skalierung und Position wirken sich auf die CWT-Koeffizienten aus. Die Wahl des Wavelets wirkt sich ebenfalls auf die Werte der Koeffizienten aus.

Indem Sie die Werte des Skalierungsparameters a und des Positionsparameters b kontinuierlich variieren, erhalten Sie die CWT-Koeffizienten C(a,b). Der Einfachheit halber wurde die Abhängigkeit der CWT-Koeffizienten von der Funktion und dem analysierenden Wavelet eliminiert.

Durch Multiplikation der einzelnen Koeffizienten mit dem entsprechend skalierten und verschobenen Wavelet erhalten Sie die einzelnen Wavelets des ursprünglichen Signals.

Es gibt viele verschiedene zulässige Wavelets, die bei der CWT eingesetzt werden können. Die vielen verschiedenen Optionen für das analysierende Wavelet können auf den ersten Blick verwirren, tatsächlich ist dies aber eine Stärke der Wavelet-Analyse. Je nachdem, welche Signaleigenschaften Sie ermitteln möchten, können Sie ein Wavelet wählen, das die Ermittlung dieser Eigenschaft erleichtert. Wenn Sie beispielsweise versuchen, abrupte Unterbrechungen in einem Signal zu ermitteln, können Sie ein bestimmtes Wavelet wählen. Wenn Sie hingegen Schwingungen mit sanftem Einsetzen und Abklingen finden möchten, können Sie ein Wavelet wählen, das stärker mit diesem Verhalten übereinstimmt.

Skalierung

Neben dem Konzept der Frequenz ist die Skalierung eine weitere nützliche Eigenschaft von Signalen und Bildern. Beispielsweise können Sie Temperaturdaten im Hinblick auf Änderungen auf unterschiedlichen Skalierungen analysieren. Sie können sich Änderungen von Jahr zu Jahr oder Jahrzehnt zu Jahrzehnt ansehen. Natürlich können Sie auch feinere (tägliche Änderungen) oder gröbere Skalierungen testen. Einige Prozesse zeigen interessante Veränderungen auf langen zeitlichen oder räumlichen Skalierungen, die auf kleinen zeitlichen oder räumlichen Skalierungen nicht ersichtlich sind. Auch das Gegenteil kann der Fall sein. Einige unserer perzeptiven Fähigkeiten zeichnen sich durch Skalierungsinvarianz aus. Sie erkennen Ihnen bekannte Personen unabhängig davon, ob Sie sich ein großes Portrait oder ein kleines Foto von ihnen ansehen.

Neben den umgangssprachlichen Beschreibungen wie „Strecken“ oder „Schrumpfen“ sprechen wir auch vom Skalierungsfaktor, häufig durch den Buchstaben a dargestellt. Der Skalierungsfaktor ist eine inhärent positive Größe (a>0). Bei Sinuskurven lässt sich der Effekt des Skalierungsfaktors sehr leicht erkennen.

Bei sin(at) ist die Skalierung die Inverse der Kreisfrequenz a.

Der Skalierungsfaktor funktioniert genauso mit Wavelets. Je kleiner der Skalierungsfaktor, umso „komprimierter“ das Wavelet. Umgekehrt gilt, je größer die Skalierung, umso gestreckter das Wavelet. Die folgende Abbildung veranschaulicht dies für Wavelets auf den Skalierungen 1, 2 und 4.

Diese allgemeine umgekehrte Beziehung zwischen Skalierung und Frequenz gilt für Signale im Allgemeinen.

Eine Zeitskalen-Darstellung ist nicht nur eine Art der Datenanzeige, sondern auch eine natürliche Weise, aus verschiedensten natürlichen Phänomenen abgeleitete Daten anzuzeigen.

Skalierung und Frequenz

Es besteht eindeutig eine Beziehung zwischen Skalierung und Frequenz. Denken Sie daran, dass längere Skalierungen den am stärksten „gestreckten“ Wavelets entsprechen. Je gestreckter das Wavelet, umso länger der Teil des Signals, mit dem es verglichen wird, und daher umso gröber die Signaleigenschaften, die von den Wavelet-Koeffizienten gemessen werden.

Die allgemeine Entsprechung zwischen Skalierung und Frequenz lässt sich wie folgt zusammenfassen:

• Kleine Skalierung a ⇒ Komprimiertes Wavelet ⇒ Schnelle Veränderung von Details ⇒ Hohe Frequenz ω.

• Lange Skalierung a ⇒ Gestrecktes Wavelet ⇒ Langsame Veränderung, grobe Darstellung ⇒ Niedrige Frequenz ω.

Es gibt zwar eine allgemeine, jedoch keine präzise Beziehung zwischen Skalierung und Frequenz. Benutzer, die mit der Fourier-Analyse vertraut sind, möchten häufig eine Zuordnung zwischen einem Wavelet auf einer bestimmten Skalierung mit einem angegebenen Abtastzeitraum und einer Frequenz in Hertz definieren. Das ist jedoch nur allgemein möglich. Daher spricht man besser von der Pseudo-Frequenz, die einer Skalierung entspricht. Die Wavelet Toolbox™-Software bietet die beiden Funktionen centfrq und scal2frq, mit denen Sie diese annähernden Skalierung-Frequenz-Beziehungen für angegebene Wavelets und Skalierungen finden können.

Der grundlegende Ansatz identifiziert die Spitzenleistung der Fourier-Transformation des Wavelets als dessen Mittenfrequenz und teilt diesen Wert durch das Produkt von Skalierung und Abtastintervall. Weitere Informationen finden Sie unter scal2frq. Diese Abbildung veranschaulicht die Übereinstimmung zwischen der geschätzten Mittenfrequenz des db8-Wavelets und einer Sinuskurve derselben Frequenz.

Die Beziehung zwischen Skalierung und Frequenz bei der CWT wird auch unter Kontinuierliche Wavelet-Transformation als Bandfilter erörtert.

Verschiebung

Die Verschiebung eines Wavelets ist einfach die Verzögerung (oder Vorverlegung) seines Auftretens. Mathematisch wird die Verzögerung einer Funktion f(t) um k dargestellt durch f(t – k):

CWT als Zeitfenster-Transformation

Unter Kurzzeit-Fourier-Transformation wird die STFT beschrieben als Fensterung (fortgesetzte Analyse innerhalb kurzer Zeitfenster) des Signals, um eine lokale Frequenzanalyse zu erstellen. Ein Schwachpunkt des STFT-Ansatzes ist, dass die Fenstergröße konstant ist. Bei der Wahl der Fenstergröße muss ein Kompromiss eingegangen werden. Ein längeres Zeitfenster verbessert die Frequenzauflösung, führt aber zu einer schlechteren Zeitauflösung, da bei der Fourier-Transformation die gesamte Zeitauflösung über die Dauer des Fensters verloren geht. Umgekehrt verbessert ein kürzeres Zeitfenster die Zeitauflösung, führt aber zu einer schlechteren Frequenzauflösung.

Die Wavelet-Technik ist der nächste logische Schritt: eine Fenstertechnik mit Regionen variabler Größe. Bei der Wavelet-Analyse können lange Zeitintervalle eingesetzt werden, wenn Sie präzisere Niederfrequenzinformationen benötigen, und kürzere Regionen, wenn Sie Hochfrequenzinformationen wünschen.

Die folgende Abbildung stellt gegenüber, wie die STFT und Wavelet-Analyse die Zeit-Frequenz-Ebene zerlegen.