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norm

Vektor- und Matrixnormen

Syntax

n = norm(v)

n = norm(v,p)

n = norm(X)

n = norm(X,p)

n = norm(X,"fro")

Beschreibung

n = norm(v) gibt die euklidische Norm eines Vektors v zurück. Diese Norm wird auch 2-Norm, Vektorbetrag oder euklidische Länge genannt.

n = norm(v,p) gibt die verallgemeinerte p-Norm für Vektoren zurück.

n = norm(X) gibt die 2-Norm oder den maximalen singulären Wert der Matrix X zurück, der in etwa max(svd(X)) ist.

n = norm(X,p) gibt die p-Norm der Matrix X zurück, wobei p gleich 1, 2 oder Inf ist:

• Wenn p = 1, dann ist n die maximale absolute Spaltensumme der Matrix.

• Wenn p = 2, dann ist n in etwa max(svd(X)). Dieser Wert ist äquivalent zu norm(X).

• Wenn p = Inf, dann ist n die maximale absolute Zeilensumme der Matrix.

n = norm(X,"fro") gibt die Frobeniusnorm der Matrix oder des Arrays X zurück.

Beispiele

Vektorbetrag

Erstellen Sie einen Vektor und berechnen Sie den Betrag.

v = [1 -2 3];
n = norm(v)

n = 3.7417

1-Norm eines Vektors

Berechnen Sie die 1-Norm eines Vektors, bei der es sich um die Summe der Elementbeträge handelt.

v = [-2 3 -1];
n = norm(v,1)

n = 6

Euklidischer Abstand zwischen zwei Punkten

Berechnen Sie den Abstand zwischen zwei Punkten als Norm der Differenz zwischen den Vektorelementen.

Erstellen Sie zwei Vektoren, die die (x,y)-Koordinaten für zwei Punkte in der euklidischen Ebene darstellen.

a = [0 3];
b = [-2 1];

Verwenden Sie norm, um den Abstand zwischen den Punkten zu berechnen.

d = norm(b-a)

d = 2.8284

Geometrisch ist der Abstand zwischen den Punkten gleich dem Betrag des Vektors, der sich vom einen Punkt zum anderen erstreckt.

$$\begin{array}{l}a=0\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+3\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ b=-2\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+1\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ \\ \begin{array}{rl}{d}_{(a,b)}& =||b-a||\\ & =\sqrt{(-2-0{)}^2+(1-3{)}^2}\\ & =\sqrt{8}\end{array}\end{array}$$

2-Norm einer Matrix

Berechnen Sie die 2-Norm einer Matrix, bei der es sich um den größten singulären Wert handelt.

X = [2 0 1;-1 1 0;-3 3 0];
n = norm(X)

n = 4.7234

Frobeniusnorm eines N-D-Arrays

Berechnen Sie die Frobeniusnorm eines vierdimensionalen Arrays X, die äquivalent zur 2-Norm des Spaltenvektors X(:) ist.

X = rand(3,4,4,3);
n = norm(X,"fro")

n = 7.1247

Die Frobeniusnorm ist auch für dünn besetzte Matrizen sinnvoll, weil norm(X,2) keine dünn besetzten X unterstützt.

Eingabeargumente

v — Eingabevektor

Vektor

Eingabevektor.

Datentypen: single | double
Unterstützung komplexer Zahlen: Ja

X — Input Array

Matrix | Array

Input Array (Eingabearray), angegeben als Matrix oder Array. Für die meisten Normtypen muss X eine Matrix sein. Bei Berechnungen der Frobeniusnorm kann X ein Array sein.

Datentypen: single | double
Unterstützung komplexer Zahlen: Ja

p — Normtyp

2 (Standardeinstellung) | positiver reeller Skalar | Inf | -Inf

Normtyp, angegeben als 2 (Standard), ein positiver reeller Skalar, Inf oder -Inf. Welche Werte von p gültig sind und welche Ergebnisse für sie zurückgegeben werden, hängt davon ab, ob die erste Eingabe für norm eine Matrix oder ein Vektor ist (siehe Tabelle).

Hinweis

Diese Tabelle spiegelt nicht die tatsächlichen Algorithmen wider, die in den Berechnungen verwendet wurden.

p	Matrix	Vektor
1	max(sum(abs(X)))	sum(abs(v))
2	max(svd(X))	sum(abs(v).^2)^(1/2)
Positiver, reellwertiger numerischer Skalar	—	sum(abs(v).^p)^(1/p)
Inf	max(sum(abs(X')))	max(abs(v))
-Inf	—	min(abs(v))

Ausgabeargumente

n — Normwert

Skalar

Normwert, zurückgegeben als Skalar. Die Norm stellt ein Maß für den Betrag der Elemente zur Verfügung. In der Regel gilt Folgendes:

• norm gibt NaN zurück, wenn die Eingabe NaN-Werte enthält.

• Die Norm einer leeren Matrix ist null.

Mehr über

Euklidische Norm

Die euklidische Norm (auch Vektorbetrag, euklidische Länge oder 2-Norm genannt) eines Vektors v mit N Elementen ist wie folgt definiert:

$$\Vert v\Vert =\sqrt{{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\left|v_k\right|}^2}}.$$

Allgemeine Vektornorm

Die allgemeine Definition der p-Norm eines Vektors v mit N Elementen ist

$${\Vert v\Vert }_p={\left[{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\left|v_k\right|}^p}\right]}^{1/p},$$

, wobei p ein beliebiger positiver reeller Wert, Inf oder -Inf ist.

• Wenn p = 1, dann ist die resultierende 1-Norm die Summe der absoluten Werte der Vektorelemente.

• Wenn p = 2, dann gibt die resultierende 2-Norm den Vektorbetrag oder die euklidische Länge des Vektors zurück.

• Wenn p = Inf, dann $${\Vert v\Vert }_{\infty }={\max }_i\left(\left|v\left(i\right)\right|\right)$$.

• Wenn p = -Inf, dann $${\Vert v\Vert }_{-\infty }={\min }_i\left(\left|v\left(i\right)\right|\right)$$.

Maximale absolute Spaltensumme

Die maximale absolute Spaltensumme einer mxn-Matrix X (mit m,n >= 2) ist wie folgt definiert:

$${\Vert X\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\left|a_{ij}\right|}\right).$$

Maximale absolute Zeilensumme

Die maximale absolute Zeilensumme einer mxn-Matrix X (mit m,n >= 2) ist wie folgt definiert:

$${\Vert X\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le m}{\max }\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right|}\right).$$

Frobeniusnorm

Die Frobeniusnorm einer mxn-Matrix X (mit m,n >= 2) ist wie folgt definiert:

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\left|a_{ij}\right|}^2}}}=\sqrt{\text{trace}\left(X^{†}X\right)}.$$

Diese Definition gilt natürlich auch für Arrays mit mehr als zwei Dimensionen. Wenn beispielsweise X ein N-D-Array der Größe mxnxpx-...-x-q ist, lautet die Frobeniusnorm wie folgt:

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\displaystyle \sum _{k=1}^p\mathrm{...}{\displaystyle \sum _{w=1}^q{\left|a_{ijk\mathrm{...}w}\right|}^2}}}}}.$$

Tipps

• Verwenden Sie vecnorm, um eine Matrix oder ein Array als Sammlung von Vektoren zu behandeln und die Norm entlang einer angegebenen Dimension zu berechnen. Beispielsweise kann vecnorm die Norm jeder Spalte in einer Matrix berechnen.

Erweiterte Fähigkeiten

Tall Arrays

Rechnen mit Arrays, die mehr Zeilen haben, als in den Speicher passen.

Diese Funktion bietet vollständige Unterstützung für Tall-Arrays. Weitere Informationen finden Sie unter Tall-Arrays.

C/C++ Codegenerierung

Generieren Sie C und C++ Code mit MATLAB® Coder™.

Hinweise zur Verwendung und Einschränkungen:

• Die Codegenerierung unterstützt für diese Funktion keine Eingaben dünn besetzter Matrizen.

Thread-Based Environment

Führen Sie mithilfe von MATLAB® backgroundPool den Code im Hintergrund aus oder machen Sie den Code mit der Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool schneller.

Diese Funktion bietet vollständige Unterstützung für thread-basierte Umgebungen. Weitere Informationen finden Sie unter Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

GPU-Arrays

Schnellere Codeausführung durch Ausführen auf einer Grafikkarte (GPU) mit der Parallel Computing Toolbox™.

Diese Funktion bietet vollständige Unterstützung für Grafikkarten-Arrays. Weitere Informationen finden Sie unter Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Verteilte Arrays

Partitionieren von großen Arrays über den kombinierten Speicher Ihres Clusters mit Parallel Computing Toolbox™.

Diese Funktion bietet vollständige Unterstützung für verteilte Arrays. Weitere Informationen finden Sie unter Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Versionsverlauf

Eingeführt vor R2006a

R2022a: Frobeniusnorm unterstützt N-D-Arrays

Normberechnungen der Form norm(X,"fro") unterstützen N-D-Array-Eingaben.

Siehe auch

vecnorm | pagenorm | normest | normalize | cond | hypot