ctrbf

Berechnen der Treppenform der Kontrollierbarkeit

Syntax

[Abar,Bbar,Cbar,T,k] = ctrbf(A,B,C)
ctrbf(A,B,C,tol)


Beschreibung

Wenn die Kontrollierbarkeitsmatrix von (A, B) den Rang r ≤ n hat, wobei n die Größe von A ist, dann gibt es eine Ähnlichkeitstransformation, sodass

$$\begin{array}{ccc}\overline{A}=TA{T}^T,& \overline{B}=TB,& \overline{C}=C{T}^T\end{array}$$

wobei T unitär ist und das transformierte System eine Treppenform hat, in der sich eventuell existierende unkontrollierbare Moden in der oberen linken Ecke befinden.

$$\begin{array}{ccc}\overline{A}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{uc}& 0\\ A_{21}& A_c\end{array}\right],& \overline{B}=\left[\begin{array}{l}0\\ B_c\end{array}\right],& \overline{C}=\left[C_{nc}{C}_c\right]\end{array}$$

wobei (A_c, B_c) kontrollierbar ist, alle Eigenwerte von A_uc unkontrollierbar sind und wobei gilt: $$C_c{(sI-A_c)}^{-1}{B}_c=C{(sI-A)}^{-1}B$$.

[Abar,Bbar,Cbar,T,k] = ctrbf(A,B,C) zerlegt das durch A, B und C repräsentierte Zustandsraumsystem in die Treppenform der Kontrollierbarkeit, Abar, Bbar und Cbar, wie oben beschrieben. T ist die Ähnlichkeitstransformationsmatrix und k ist ein Vektor der Länge n, wobei n die Ordnung des durch A repräsentierten Systems ist. Jeder Eintrag von k steht für die Anzahl der kontrollierbaren Zustände, die bei jedem Schritt der Berechnung der Transformationsmatrix ausgeklammert werden. Die Anzahl der Nicht-Null-Elemente in k zeigt an, wie viele Iterationen notwendig waren, um T zu berechnen, und sum(k) ist die Anzahl der Zustände in A_c, dem kontrollierbaren Teil von Abar.

ctrbf(A,B,C,tol) verwendet bei der Berechnung der kontrollierbaren/unkontrollierbaren Teilräume die Toleranz tol. Wenn die Toleranz nicht angegeben wird, wird sie standardmäßig auf 10*n*norm(A,1)*eps gesetzt.

Beispiele

Berechnen Sie die Treppenform der Kontrollierbarkeit für

A =
     1     1
     4    -2

B =
     1    -1
     1    -1

C =
     1     0
     0     1

und finden Sie die unkontrollierbare Mode.

[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=ctrbf(A,B,C)

Abar =
   -3.0000         0
   -3.0000    2.0000

Bbar =
    0.0000    0.0000
    1.4142   -1.4142

Cbar =
   -0.7071    0.7071
    0.7071    0.7071

T =
   -0.7071    0.7071
    0.7071    0.7071
k =
     1     0

Das zerlegte System Abar weist bei -3 eine unkontrollierbare Mode und bei 2 eine kontrollierbare Mode auf.

Algorithmen

ctrbf implementiert den Treppen-Algorithmus von [1].

Referenzen

[1] Rosenbrock, M.M., State-Space and Multivariable Theory, John Wiley, 1970.

Versionsverlauf

Eingeführt vor R2006a

Siehe auch

ctrb | minreal