Polvorgabe

Die Positionen der Polstellen geschlossener Regelkreise haben eine direkte Auswirkung auf die zeitlichen Eigenschaften der Antworten, wie zum Beispiel Anstiegszeit, Einschwingzeit und Ausgleichsschwingungen. Bei „Wurzelort“ werden Kompensator-Verstärkungsfaktoren zum Verschieben der Polstellen geschlossener Regelkreise verwendet, um Entwurfsspezifikationen für SISO-Systeme zu erreichen. Sie können jedoch Zustandsraumverfahren verwenden, um Polstellen geschlossener Regelkreise zuzuweisen. Diese Entwurfstechnik, die als Polvorgabe bezeichnet wird, weicht in den folgenden Aspekten von „Wurzelort“ ab:

• Mit Polvorgabetechniken können Sie dynamische Kompensatoren entwerfen.

• Polvorgabetechniken können bei MIMO-Systemen verwendet werden.

Für die Polvorgabe ist ein Zustandsraummodell des Systems erforderlich (mit ss können Sie andere Modellformate in die Zustandsraumdarstellung konvertieren). Bei zeitkontinuierlichen Systemen haben solche Modelle die Form

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

Dabei gilt: u ist der Vektor der Steuerungseingänge, x ist der Zustandsvektor und y ist der Vektor der Messungen.

Auswahl der Zustands-Feedback-Verstärkung

Unter dem Zustands-Feedback $$u=-Kx$$ ergibt sich die Dynamik eines geschlossenen Regelkreises aus

$$\dot{x}=(A-BK)x$$

und die Polstellen eines geschlossenen Regelkreises sind die Eigenwerte von A-BK. Mit der Funktion place können Sie eine Verstärkungsmatrix K berechnen, die diese Polstellen allen gewünschten Positionen in der komplexen Ebene zuweist (sofern (A,B) regelbar ist).

Zum Beispiel wird für die Zustandsmatrizen A und B und den Vektor p, der die gewünschten Positionen der Polstellen eines geschlossenen Regelkreises enthält, mit

K = place(A,B,p);

eine geeignete Verstärkungsmatrix K berechnet.

Entwurf einer Zustandsschätzfunktion

Das Zustands-Feedback-Gesetz $$u=-Kx$$ können Sie nur dann implementieren, wenn der vollständige Zustand x gemessen wird. Sie können jedoch eine Zustandsschätzung $$\xi$$ so konstruieren, dass das Gesetz $$u=-K\xi$$ eine ähnliche Polzuweisung und ähnliche Eigenschaften des geschlossenen Regelkreises verwendet. Dies erreichen Sie durch den Entwurf einer Zustandsschätzfunktion (bzw. eines Zustandsbeobachters) in der Form

$$\dot{\xi }=A\xi +Bu+L(y-C\xi -Du)$$

Die Polstellen der Schätzfunktion sind die Eigenwerte von A-LC, die durch geeignete Auswahl der Verstärkungsmatrix L der Schätzfunktion zugewiesen werden können, sofern (C, A) beobachtbar ist. Im Allgemeinen sollte die Dynamik der Schätzfunktion schneller sein als die des Reglers (Eigenwerte von A-BK).

Verwenden Sie die Funktion place zum Berechnen der Matrix L

L = place(A',C',q).'

Dabei gilt: A und C sind die Zustands- und Ausgangsmatrizen und q ist der Vektor, der die gewünschten Polstellen des geschlossenen Regelkreises für den Beobachter enthält.

Durch Ersetzen von x durch die Schätzung $$\xi$$ in $$u=-Kx$$ ergibt sich der dynamische Ausgangs-Feedback-Kompensator

$$\begin{array}{l}\dot{\xi }=[A-LC-(B-LD)K]\xi +Ly\\ u=-K\xi \end{array}$$

Beachten Sie, dass die Dynamik des geschlossenen Regelkreises die folgende Form hat:

$$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A-BK& BK\\ 0& A-LC\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ e\end{array}\right],e=x-\xi$$

Somit weisen Sie alle Polstellen eines geschlossenen Regelkreises zu, indem Sie die Eigenwerte von A-BK und A-LC unabhängig voneinander platzieren.

Beispiel

Gegeben sei das zeitkontinuierliche Zustandsraummodell

sys_pp = ss(A,B,C,D) 

mit sieben Ausgängen und vier Eingängen. Außerdem wird vorausgesetzt, dass Sie die folgenden Elemente entworfen haben:

• Die Zustands-Feedback-Verstärkung K unter Verwendung der Eingänge 1, 2 und 4 der Regelstrecke als Steuerungseingänge

• Eine Zustandsschätzfunktion mit der Verstärkung L unter Verwendung der Ausgänge 4, 7 und 1 der Regelstrecke als Sensoren

• Eingang 3 der Regelstrecke als zusätzlicher bekannter Eingang

Danach können Sie mit diesem Code den Regler und die Schätzfunktion verbinden und den dynamischen Kompensator bilden:

controls = [1,2,4];
sensors = [4,7,1];
known = [3];
regulator = reg(sys_pp,K,L,sensors,known,controls)

Tools für die Polvorgabe

Mit Funktionen können Sie

• Die Verstärkungsmatrizen K und L berechnen, die die Polstellen eines geschlossenen Regelkreises an den gewünschten Positionen platzieren.

• Mit diesen Verstärkungsfaktoren die Schätzfunktion und den dynamischen Kompensator bilden.

In der folgenden Tabelle finden Sie eine Zusammenfassung der Funktionen für die Polvorgabe.

Funktionen	Beschreibung
estim	Zustandsschätzfunktion bei gegebener Verstärkung der Schätzfunktion bilden
place	Entwurf der Polvorgabe
reg	Ausgangs-Feedback-Kompensator bei gegebener Zustands-Feedback-Verstärkung und gegebener Verstärkung der Schätzfunktion bilden

Vorsicht

Wenn Sie unrealistische Polpositionen wählen, kann sich eine schlechte Polvorgabe ergeben. Insbesondere sollten Sie Folgendes vermeiden:

• Platzieren mehrerer Polstellen an derselben Position.

• Verschieben von Polstellen, die nur schwach regelbar oder beobachtbar sind. Dies erfordert in der Regel eine hohe Verstärkung, die wiederum die gesamte Eigenstruktur des geschlossenen Regelkreises sehr störempfindlich macht.

Siehe auch

estim | place | reg