Die Geschichte der Geometrie mit Bildverarbeitung und antiker Kunst neu schreiben

Papaodysseus hat eine lange Geschichte in der Verwendung von Informatik und MATLAB^® um archäologische Probleme zu lösen. Zunächst arbeitete Papaodysseus mit dem renommierten Archäologen Professor Steven Tracy zusammen, dem damaligen Direktor der American School of Classical Studies in Athen, um Inschriften nach ihrem Lithioxus zu klassifizieren, d. h. dem Schreiber, der eine Inschrift eingraviert hat. Eine solche Einordnung ist für die Geschichtswissenschaft von grundsätzlicher Bedeutung, da ein Lithioxus seine Arbeiten weder datierte noch signierte, was eine zeitliche Einordnung einer Inschrift praktisch unmöglich macht. Wenn jedoch das Gesamtwerk eines Lithioxus zusammengetragen wird, ist durch eine sorgfältige Untersuchung dieses Ensembles in der Regel eine Datierung möglich. So gelang es Papaodysseus mithilfe von MATLAB und Mathematik, mehr als dreißig Inschriften auf neun Graveure zuzuordnen, mit 100 % Erfolg.

„Mir fiel auf, dass wir dies mit moderner Mathematik, Informatik und MATLAB erreichen könnten“, sagt Papaodysseus. Er und sein Team konnten gemeinsam mit dem Professor für klassische Altertumswissenschaft Christopher Blackwell nachweisen, dass beide Dokumente von derselben Hand geschrieben wurden. Das griechische Parlament hat sogar seine detektivischen Fähigkeiten in Anspruch genommen, um die Autoren anderer Dokumente von Historikern auszugraben.

„Mit MATLAB können wir Archäologen dabei helfen, eine vollständigere und genauere Geschichte antiker Artefakte zu erstellen“, sagt Papaodysseus.

Die Geschichte des Freskenwerks beginnt unter Akrotiri, einer Stadt im Südwesten von Santorin, einer griechischen Insel in der Ägäis im Mittelmeer. Um 1620 v. Chr., während der minoischen Zivilisation, begrub ein gewaltiger Vulkanausbruch die Insel unter bis zu 20 Meter dicken Schichten aus Bimsstein und Asche. Dadurch entstand ein reicher Schatz an Artefakten, die im Vulkangestein über Jahrtausende konserviert wurden. Zu den ausgegrabenen Funden gehörten auch zerstörte Überreste kunstvoller Wandmalereien und Fresken.

In den späten 1990er Jahren begann Papaodysseus mit der Verwendung von MATLAB zur Analyse antiker Fresken und zur Entwicklung von Methoden zum Zusammensetzen Hunderter Wandgemäldefragmente, einschließlich der zwei- und dreidimensionalen Neuzusammensetzung. Als er eines Nachts versuchte, Teile von Fresken auf seinem Computer zusammenzufügen, bemerkte er etwas Unerwartetes auf dem Monitor. Das Bild zeigte ein Mädchen, das er in einem anderen Fresko gesehen hatte: "The Crocus Gathering". In diesem Fresko lehnt sich das Mädchen zu einer Pflanze hinüber, doch als Papaodysseus nun das neueste Bild von ihr auf seinem Bildschirm sah, bemerkte er, dass die Rundung ihres Rückens wie eine Hyperbel aussah.

Es gab dabei ein Problem: Die ersten Beschreibungen von Hyperbeln und anderen Kegelschnitten stammten von bedeutenden Denkern der klassischen Epoche wie Menachom und Euklid, die um 350–250 v. Chr. lebten – also über 1.300 Jahre nach der Entstehung des Freskos. Die Idee war möglicherweise „verrückt“, erinnerte sich Papaodysseus.

Papaodysseus wollte sehen, wohin ihn dieser „hyperbelförmig gekrümmte Rücken“ führen würde. Nach seiner schicksalhaften Beobachtung verbrachte Papaodysseus die nächsten Monate damit, in MATLAB eine Methode zum Testen seiner Hypothese zu entwickeln. Er entwickelte einen Bildsegmentierungsalgorithmus, der die einzelnen Konturen der Bilder in einer Kette einzelner Pixel isolieren konnte. Die Konturen sind ununterbrochene, gleichmäßige Kurven oder Linien, sodass ein Gemälde aus vielen einzelnen Konturen besteht.

„Wir haben uns mit Formen beschäftigt, die entweder in der Natur vorkommen oder die erst seit der Zeit der großen Mathematiker der klassischen Ära, wie Archimedes und Euklid, verstanden und umfassend untersucht wurden“, sagt Papaodysseus. „Damals glaubte ich nicht, dass die Minoer, die antiken Vorfahren von Euklid und Archimedes, diese Formen verstanden oder mit ihnen arbeiten konnten.“

Intuitiv war die Idee sinnvoll, dass diese Künstler zum Erstellen dieser Formen Vorlagen oder Schablonen verwendeten. Damals mussten Künstler präzise und schnell arbeiten, um Abschnitte auf nassem Putz fertigzustellen, bevor dieser trocknete. Angesichts der glatten, gleichmäßigen Konturen der fertigen Gemälde ist es wahrscheinlicher, dass die Künstler beim Malen auf dieser rauen Oberfläche eine Art Vorlage verwendet haben.

Mit dem Bild des gekrümmten Rückens des Mädchens in „The Crocus Gathering“ zeichneten Papaodysseus und sein Team Kurven mit unterschiedlichen Parametern und verwendeten algorithmische Schemata, die mithilfe von MATLAB und seinen Funktionsminimierungsalgorithmen gezeichnete Konturen mit den potenziellen Schablonenformen identifizieren und vergleichen konnten.

„In MATLAB ist es einfach, eine Hyperbel zu zeichnen. „Mit zwei Funktionen aus der Image Processing Toolbox™ können Sie die Hyperbel auf ein Bild legen“, sagt Athanasios-Rafail Mamatsis, ein Forscher im Team von Papaodysseus.

Die Anwendung dieser Funktionen auf das Bild des Mädchens in „The Crocus Gathering“ bestätigte, dass ihr gekrümmter Rücken einer echten Hyperbel entsprach und dass keine andere mögliche Form oder Schablone dazu passte (siehe Abbildung 1). Als weiteren Beweis dafür probierte er diese Methode bei einem anderen Mädchen im selben Fresko aus und fand Konturen, die derselben Hyperbel entsprachen (siehe Abbildung 2).

Im Laufe der Jahre wurden Doktoranden, die am ursprünglichen Projekt arbeiteten, zu Kollegen, und das Team hat die ursprünglichen Algorithmen von Papaodysseus weiter angewandt und verbessert, um neue Ideen zu erkunden. „Insbesondere nach dem Hyperbelfund hatten wir keine Skrupel zu prüfen, ob die Minoer für ihre Fresken lineare Spiralen verwendet hatten“, sagt Papaodysseus.

Ihr erster Instinkt bestand darin, Spiralformen auszuprobieren, die einfach waren oder in der Natur häufig vorkommen. Als Hauptkandidaten für die Analyse kamen die Exponentialspiralen in Frage, die mit höchster Präzision in Muscheln auftreten, oder die Spirale, die beim Abwickeln eines um einen Stift gewickelten Fadens entsteht. Dass die Künstler auf die schwieriger zu konstruierende lineare Spirale gestoßen wären, die auch als Archimedes-Spirale bekannt ist, schien weniger wahrscheinlich. Doch als sie ihre Vergleiche durchführten, stellte sich heraus, dass es sich bei den Wirbeln, die die Fresken schmückten, tatsächlich um diese seltsamen Spiralen handelte (siehe Abbildung 3).

Bei der Analyse von immer mehr Wandmalereien fand Papaodysseus‘ Gruppe immer wieder Übereinstimmungen für sechs bestimmte Schablonen (vier Hyperbeln und zwei lineare Spiralen) in den Bildkonturen. Bei der Untersuchung der Fresken entdeckten sie sogar kleine Löcher im Putz, wo die Künstler möglicherweise ihre Führer befestigt hatten. Die Annahme, dass die Künstler der Bronzezeit Schablonen verwendeten, wird dadurch weiter untermauert, dass die Konturen der Gemälde im Allgemeinen weniger als 0,3 Millimeter und nie mehr als 0,8 Millimeter von den computergenerierten Vorlagen abweichen. „Damit ist der Zufall ausgeschlossen“, sagt Papaodysseus. Solche engen Übereinstimmungen sind wahrscheinlich kein Zufall, insbesondere bei Schablonenlängen, die 14 cm, 15 cm, 17 cm, 22 cm usw. überschreiten.

Ein weiterer Beweis dafür, dass die Künstler oder zumindest die Schablonenhersteller über ein fortgeschrittenes geometrisches Verständnis verfügten, ergibt sich aus den möglichen Methoden, mit denen sie die Hyperbel- und Spiralschablonen herstellten. Betrachten Sie eine Hyperbel: Es handelt sich nicht einfach um eine geschwungene Linie, die zufällig der Form eines geschwungenen Rückens entspricht. Alle Punkte auf der Kurve haben einen konstanten Abstandsunterschied zu zwei festen Punkten auf derselben Ebene, die nun Fokusse heißen. Die Forscher vermuten, dass die Künstler solche Kurven dadurch konstruiert haben könnten, dass sie zwei Kreise mit unterschiedlichem Radius und jeweils einem festgelegten Mittelpunkt gezeichnet hätten, sodass sich die Kreise teilweise überlappen, ähnlich einem schiefen Venn-Diagramm. Indem man konzentrische Kreise um die beiden ursprünglichen Kreise zeichnet und dabei den Radius beider Kreise jedes Mal um den gleichen Betrag vergrößert, kann man eine Hyperbel zeichnen, indem man die Schnittpunkte zwischen den jeweiligen Kreisen verbindet (siehe Abbildung 5).

Für die lineare Spirale könnten die Künstler nach Ansicht der Forscher wiederum konzentrische Kreise verwendet haben. Die bisherige Arbeit des Teams hatte gezeigt, dass die Bewohner von Akrotiri in der Bronzezeit Mittelpunktswinkel aus Folgen regelmäßiger Polygone konstruieren konnten. Man könnte eine lineare Spirale zeichnen, indem man die Schnittpunkte der entsprechenden Geraden der Polygone mit konzentrischen Kreisen verbindet (siehe Abbildung 6).

In den über 20 Jahren, in denen Papaodysseus und sein Team diese Arbeit durchgeführt haben, haben sie stets MATLAB verwendet. „Ich würde MATLAB gegen nichts in der Welt eintauschen, obwohl ich viele Programmiersprachen kenne“, sagt Papaodysseus. Bei Aufgaben, die er in C/C++ schreiben muss, ruft er den Code aus MATLAB auf und erhält sofort Ergebnisse. Er sagt, dass dieselbe Aufgabe ohne diese MATLAB Wrapping-Verfügbarkeit dreimal so lange dauern würde. Dabei sind die Benutzerfreundlichkeit, Effizienz und Qualität der Computerumgebung von entscheidender Bedeutung. „Es reduziert die Anzahl der Codezeilen, die Sie schreiben müssen, und die Klarheit der Ergebnisse ist unglaublich.“

Nicht nur auf Santorin gibt es diese beeindruckenden Fresken. Wie bereits erwähnt, reitet im Fresko der Abbildung 4, das einst eine Wand im Palast von Knossos schmückte – heute aber in Museen zu sehen ist – ein Mann kopfüber auf einem Stier, während sich auf beiden Seiten zwei Frauen bereit machen, ihm zu helfen. Bei der Analyse dieses Gemäldes aus Kreta stellte Papaodysseus‘ Gruppe fest, dass der Rücken des Stiers eindeutig einer Hyperbel entsprach, die das Team zuvor schon einmal – in Fresken auf Santorin – gesehen hatte, während verschiedene andere Konturteile dieses Freskos optimal zu entsprechenden Teilen der Hyperbeln und Spiralteile passten, die in Akrotiri auf Thera gesichtet worden waren.