Black-Box-Modellierung
Auswählen von Struktur und Ordnung des Black-Box-Modells
Die Black-Box-Modellierung ist hilfreich, wenn Sie primär daran interessiert sind, die Daten unabhängig von einer bestimmten mathematischen Struktur des Modells anzupassen. Die Toolbox stellt verschiedene lineare und nichtlineare Black-Box-Modellstrukturen zur Verfügung, die sich bislang als hilfreich für die Darstellung dynamischer Systeme erwiesen haben. Diese Modellstrukturen sind unterschiedlich komplex, je nachdem, wie viel Flexibilität Sie benötigen, um Dynamiken und Rauschen in Ihrem System zu berücksichtigen. Sie können eine dieser Strukturen auswählen und ihre Parameter berechnen, um die gemessenen Antwortdaten anzupassen.
Die Black-Box-Modellierung ist in der Regel ein Trial-and-Error-Prozess, bei dem Sie die Parameter verschiedener Strukturen schätzen und die Ergebnisse vergleichen. Normalerweise beginnen Sie mit der einfachen linearen Modellstruktur und arbeiten sich zu komplexeren Strukturen vor. Sie können auch eine Modellstruktur auswählen, weil Sie mit dieser Struktur vertrauter sind oder weil es bestimmte Anwendungsanforderungen gibt.
Für die einfachsten linearen Black-Box-Strukturen müssen die wenigsten Optionen konfiguriert werden:
Transferfunktion – mit einer bestimmten Anzahl von Pol- und Nullstellen
Lineares ARX-Modell – das einfachste Eingangs-/Ausgangs-Polynommodell
Zustandsraummodell – dieses können Sie schätzen, indem Sie die Anzahl der Modellzustände angeben
Für die Schätzung einiger dieser Strukturen werden auch nichtiterative Schätzalgorithmen angewandt, wodurch sich die Komplexität weiter verringert.
Sie können mithilfe der Modellordnung eine Modellstruktur konfigurieren. Die Definition der Modellordnung variiert abhängig von dem von Ihnen ausgewählten Modelltyp. Wenn Sie beispielsweise die Darstellung einer Transferfunktion ausgewählt haben, steht die Modellordnung mit der Anzahl der Pol- und Nullstellen in Beziehung. Bei der Zustandsraumdarstellung entspricht die Modellordnung der Anzahl der Zustände. In einigen Fällen, z. B. bei den Strukturen linearer ARX- und Zustandsraummodelle können Sie die Modellordnung anhand der Daten schätzen.
Wenn die einfachen Modellstrukturen zu keinen guten Modellen führen, haben Sie folgende Möglichkeiten, um komplexere Modellstrukturen auszuwählen:
Angeben einer höheren Modellordnung für dieselbe lineare Modellstruktur. Eine höhere Modellordnung erhöht die Modellflexibilität für das Erfassen komplexer Phänomene. Allerdings kann das Modell durch eine unnötig hohe Ordnung weniger zuverlässig sein.
Explizites Modellieren des Rauschens durch Einschließen des Ausdrucks He(t) wie in der folgenden Gleichung veranschaulicht:
y(t) = Gu(t) + He(t)
Hier modelliert H die additive Störung, indem die Störung als Ausgang eines linearen Systems behandelt wird, gesteuert von einer Quelle für weißes Rauschen e(t).
Die Verwendung einer Modellstruktur, die die additive Störung explizit modelliert, kann dazu beitragen, die Genauigkeit der gemessenen Komponente G zu verbessern. Außerdem ist eine solche Modellstruktur hilfreich, wenn Sie hauptsächlich an der Vorhersage zukünftiger Antwortwerte interessiert sind.
Verwendung einer anderen linearen Modellstruktur.
Siehe Linear Model Structures.
Verwendung einer nichtlinearen Modellstruktur.
Nichtlineare Modelle sind beim Erfassen komplexer Phänomene flexibler als lineare Modelle ähnlicher Ordnungen. Siehe Nonlinear Model Structures.
Letztendlich wählen Sie die einfachste Modellstruktur aus, die am besten zu Ihren gemessenen Daten passt. Weitere Informationen finden Sie unter Schätzung linearer Modelle mithilfe von „Quick Start“.
Unabhängig von der Struktur, die Sie für die Schätzung ausgewählt haben, können Sie das Modell für Ihre Anwendungsanforderungen vereinfachen. Beispielsweise können Sie die gemessene Dynamik (G) von der Rauschdynamik (H) trennen, um ein einfacheres Modell zu erhalten, das lediglich die Beziehung zwischen y und u darstellt. Sie können auch ein nichtlineares Modell um einen Arbeitspunkt linearisieren.
Wann sollten nichtlineare Modellstrukturen verwendet werden?
Ein lineares Modell reicht oft aus, um die Systemdynamiken zu beschreiben und in den meisten Fällen hat es sich bewährt, zunächst zu versuchen, lineare Modelle anzupassen. Wenn das Ausgangssignal des linearen Modells das gemessene Ausgangssignal nicht angemessen reproduziert, müssen Sie möglicherweise ein nichtlineares Modell verwenden.
Ob eine nichtlineare Modellstruktur verwendet werden muss, können Sie beurteilen, indem Sie die Antwort des Systems auf einen Eingang plotten. Wenn Sie feststellen, dass sich die Antworten abhängig vom Eingangspegel oder vom Vorzeichen des Eingangs unterscheiden, versuchen Sie es mit einem nichtlinearen Modell. Wenn beispielsweise die Ausgangsantwort auf die Aufwärtstransformation des Eingangs schneller ist als die Antwort auf die Abwärtstransformation, ist vielleicht ein nichtlineares Modell erforderlich.
Bevor Sie das nichtlineare Modell eines Systems erstellen, von dem Sie wissen, dass es nichtlinear ist, versuchen Sie, die Eingangs- und Ausgangsgrößen so zu transformieren, dass die Beziehung zwischen den transformierten Größen linear ist. Stellen Sie sich beispielsweise ein System mit Strom und Spannung als Eingänge für einen Tauchsieder vor, wobei die Temperatur der erwärmten Flüssigkeit ein Ausgang ist. Der Ausgang hängt von den Eingängen durch die Leistung des Tauchsieders ab, was dem Produkt aus Strom und Spannung entspricht. Anstatt für dieses System mit zwei Eingängen und einem Ausgang ein nichtlineares Modell zu erstellen, können Sie eine neue Eingangsgröße kreieren, indem Sie das Produkt aus Strom und Spannung verwenden und ein lineares Modell erstellen, das die Beziehung zwischen Leistung und Temperatur beschreibt.
Wenn Sie keine Variablen-Transformationen bestimmen können, die eine lineare Beziehung zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrößen ergeben, können Sie nichtlineare Strukturen verwenden, z. B. nichtlineare ARX- oder Hammerstein-Wiener-Modelle. Eine Liste unterstützter nichtlinearer Modellstrukturen und Informationen dazu, wann diese verwendet werden, finden Sie im Abschnitt Nonlinear Model Structures.
Beispiel für eine Black-Box-Schätzung
Sie können mithilfe der App „System Identification“ oder ihrer Befehle lineare und nichtlineare Modelle unterschiedlichster Strukturen schätzen. In den meisten Fällen wählen Sie eine Modellstruktur aus und schätzen die Modellparameter mithilfe eines einzelnen Befehls.
Betrachten Sie das Masse-Feder-Dämpfer-System, das in Dynamische Systeme und Modelle beschrieben ist. Wenn die Bewegungsgleichung dieses Systems unbekannt ist, können Sie mithilfe eines Black-Box-Modellierungsansatzes ein Modell erstellen. Beispielsweise können Sie Transferfunktionen oder Zustandsraummodelle schätzen, indem Sie die Ordnungen dieser Modellstrukturen angeben.
Eine Transferfunktion ist ein Polynomverhältnis:
Im Falle des Masse-Feder-Dämpfer-Systems ist diese Transferfunktion
also ein System ohne Nullstellen und mit 2 Polstellen.
Im zeitdiskreten Modell kann die Transferfunktion des Masse-Feder-Dämpfer-Systems gleich
sein, wobei die Modellordnungen der Anzahl der Koeffizienten des Zählers und des Nenners (nb = 1 und nf = 2) entsprechen und die Eingangs-/Ausgangsverzögerung gleich dem Exponenten von z–1 mit der niedrigsten Ordnung im Zähler ist (nk = 1).
Im zeitkontinuierlichen Modell können Sie ein lineares Transferfunktionsmodell erstellen, indem Sie den Befehl tfest verwenden.
m = tfest(data,2,0)
Hier sind data Ihre gemessenen Eingangs-/Ausgangsdaten, dargestellt als iddata-Objekt, und die Modellordnung entspricht der Menge der Anzahl der Polstellen (2) und Anzahl der Nullstellen (0).
Auf ähnliche Weise können Sie mithilfe des Befehls oe die Ausgangs-Fehler-Struktur eines zeitdiskreten Modells erstellen.
m = oe(data,[1 2 1])
Die Modellordnung ist [nb nf nk] = [1 2 1]. In der Regel sind die Modellordnungen im Voraus nicht bekannt. Probieren Sie verschiedene Modellordnungswerte aus, bis Sie die Ordnungen finden, die ein akzeptables Modell ergeben.
Alternativ können Sie eine Zustandsraumstruktur auswählen, um das Masse-Feder-Dämpfer-System darzustellen und die Modellparameter mithilfe des Befehls ssest oder n4sid schätzen.
m = ssest(data,2)
Hier steht das zweite Argument 2 für die Ordnung oder die Anzahl der Zustände im Modell.
Bei der Black-Box-Modellierung benötigen Sie die Bewegungsgleichung für das System nicht – es reicht eine Schätzung der Modellordnungen.
Weitere Informationen zum Erstellen von Modellen finden Sie unter Steps for Using the System Identification App und Model Estimation Commands.
