Was sind Zustandsraummodelle?
Definition von Zustandsraummodellen
Zustandsraummodelle sind Modelle, die Zustandsvariablen zur Beschreibung eines Systems mithilfe einer Reihe von Differenzial- oder Differenzgleichungen erster Ordnung verwenden, statt eine oder mehrere Differenzial- oder Differenzgleichungen n-ter Ordnung zu nutzen. Wenn der Satz Differenzgleichungen erster Ordnung hinsichtlich der Zustands- und Eingangsvariablen linear ist, wird das Modell als lineares Zustandsraum-Modell bezeichnet.
Hinweis
Im Allgemeinen bezeichnet die Dokumentation für System Identification Toolbox™ lineare Zustandsraummodelle einfach als „Zustandsraummodelle“. Sie können nicht lineare Zustandsraummodelle zudem mithilfe von Grey-Box-Zustandsraumobjekten und neuronalen Zustandsraumobjekten identifizieren. Weitere Informationen finden Sie unter Available Nonlinear Models.
Die Struktur des linearen Zustandsraummodells eignet sich gut für eine schnelle Schätzung, da Sie nur einen Parameter, die Modellordnung n, angeben müssen. Die Modellordnung ist eine ganze Zahl, die der Dimension von x(t) entspricht und sich auf die Anzahl der verzögerten Eingänge und Ausgänge bezieht, die in der entsprechenden Differenzgleichung verwendet werden, ihr aber nicht unbedingt entspricht. Die Zustandsvariablen x(t) können aus den gemessenen Eingangs-/Ausgangs-Daten rekonstruiert werden, werden aber während eines Experiments nicht selbst gemessen.
Zeitkontinuierliche Darstellung
Es ist oft einfacher, ein parametrisiertes Zustandsraummodell in kontinuierlicher Zeit zu definieren, da physikalische Gesetze meist in Form von Differentialgleichungen beschrieben werden. In kontinuierlicher Zeit hat die lineare Zustandsraumbeschreibung die folgende Form:
Die Matrizen F, G, H und D enthalten Elemente mit physikalischer Bedeutung, z. B. Materialkonstanten. x0 gibt die Anfangszustände an.
Hinweis
= 0 ergibt die Zustandsraumdarstellung eines Ausgangsfehler-Modells. Weitere Informationen finden Sie unter What Are Polynomial Models?.
Sie können ein zeitkontinuierliches Zustandsraummodell sowohl mit Daten aus der Zeit- als auch der Frequenzdomäne schätzen.
Zeitdiskrete Darstellung
Die Struktur des zeitdiskreten linearen Zustandsraummodells wird häufig in der Innovationsform geschrieben, die das Rauschen beschreibt:
wobei T die Abtastzeit, u(kT) der Eingang zum Zeitpunkt kT und y(kT) die Ausgabe zum Zeitpunkt kT ist.
Hinweis
K=0 gibt die Zustandsraumdarstellung eines Ausgangsfehler-Modells aus. Weitere Informationen zu Ausgangsfehler-Modellen finden Sie unter What Are Polynomial Models?.
Zeitdiskrete Zustandsraummodelle bieten die gleiche Art von linearer Differenzbeziehung zwischen den Eingängen und den Ausgängen wie das lineare ARMAX-Modell, werden aber so umgestellt, dass in den Ausdrücken nur eine Verzögerung vorkommt.
Sie können ein zeitdiskretes Zustandsraummodell nicht anhand zeitkontinuierlicher Frequenzdomänendaten schätzen.
Bei der Innovationsform wird eine einzige Rauschquelle, e(kT), anstelle von unabhängigem Prozess- und Messrauschen verwendet. Wenn Sie über Vorwissen über das Prozess- und Messrauschen verfügen, können Sie eine lineare Grey-Box-Schätzung verwenden, um ein Zustandsraummodell mit strukturierten unabhängigen Rauschquellen zu identifizieren. Weitere Informationen finden Sie unter Identifying State-Space Models with Separate Process and Measurement Noise Descriptions.
Beziehung zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Zustandsmatrizen
Die Beziehungen zwischen den diskreten Zustandsraummatrizen A, B, C, D und K und den zeitkontinuierlichen Zustandsraummatrizen F, G, H, D und sind für eine stückweise konstante Eingabe wie folgt gegeben:
Bei diesen Beziehungen geht man davon aus, dass der Eingang über die Zeitintervalle stückweise konstant ist.
Die exakte Beziehung zwischen K und ist kompliziert. Für kurze Abtastzeiten T funktioniert die folgende Annäherung jedoch gut:
Zustandsraumdarstellung von Transferfunktionen
Für lineare Modelle lautet die allgemeine Modellbeschreibung wie folgt:
G ist eine Transferfunktion, die den Eingang u zum Ausgang y führt. H ist eine Transferfunktion, die die Eigenschaften des additiven Ausgangsrauschmodells beschreibt.
Die Beziehungen zwischen den Transferfunktionen und den zeitdiskreten Zustandsraummatrizen sind durch die folgenden Gleichungen gegeben:
Hier ist Inx die nx-mal-nx-Identitätsmatrix, und nx die Anzahl der Zustände. Iny ist die ny-mal-ny-Identitätsmatrix, und ny ist die Dimension von y und e.
Die Zustandsraumdarstellung im zeitkontinuierlichen Fall ist ähnlich.
