Zeitdiskrete Proportional-Integral-Differential-Regler (PID-Regler)

Alle Objekttypen des PID-Reglers, pid, pidstd, pid2 und pidstd2, können PID-Regler in diskreter Zeit darstellen.

Darstellungen zeitdiskreter PID-Regler

Zeitdiskrete PID-Regler werden durch die folgenden Formeln ausgedrückt.

Form	Formel
Parallel (pid)	$$C=K_p+K_{i}IF\left(z\right)+\frac{K_d}{T_f+DF\left(z\right)},$$ wobei gilt: Kp = P-Verstärkung Ki = Integrationsverstärkung Kd = Differentialverstärkung Tf = D-Filterzeit
Standard (pidstd)	$$C=K_p\left(1+\frac{1}{T_i}IF\left(z\right)+\frac{T_d}{\frac{T_d}{N}+DF\left(z\right)}\right),$$ wobei gilt: Kp = P-Verstärkung Ti = Nachstellzeit Td = Vorhaltezeit N = D-Filterfaktor
2-DOF Parallel (pid2)	Zwischen dem Ausgang des 2-DOF-Reglers (u) und seinen beiden Eingängen (r und y) besteht folgende Beziehung: $$u=K_p\left(br-y\right)+K_{i}IF\left(z\right)\left(r-y\right)+\frac{K_d}{T_f+DF\left(z\right)}\left(cr-y\right)$$ In dieser Darstellung gilt: Kp = P-Verstärkung Ki = Integrationsverstärkung Kd = Differentialverstärkung Tf = D-Filterzeit b = Führungsanteil auf den Proportionalanteil c = Führungsanteil auf den Differentialanteil
2-DOF Standard (pidstd2-Objekt)	$$u=K_p\left[\left(br-y\right)+\frac{1}{T_i}IF\left(z\right)\left(r-y\right)+\frac{T_d}{\frac{T_d}{N}+DF\left(z\right)}\left(cr-y\right)\right]$$ In dieser Darstellung gilt: Kp = P-Verstärkung Ti = Nachstellzeit Td = Vorhaltezeit N = D-Filterfaktor b = Führungsanteil auf den Proportionalanteil c = Führungsanteil auf den Differentialanteil

In all diesen Ausdrücken sind IF(z) und DF(z) die Formeln des diskreten Integrators für den Integrations- bzw. den Ableitungsfilter. Verwenden Sie die IFormula- und DFormula-Eigenschaften der Regler-Objekte, um die Formeln IF(z) und DF(z) festzulegen. Die nächste Tabelle zeigt die verfügbaren Formeln für IF(z) und DF(z) an. T_s ist die Abtastzeit.

IFormula oder DFormula	IF(z) oder DF(z)
ForwardEuler (Standard)	$$\frac{T_s}{z-1}$$
BackwardEuler	$$\frac{T_{s}z}{z-1}$$
Trapezoidal	$$\frac{T_s}{2}\frac{z+1}{z-1}$$

Wenn Sie keinen Wert für IFormula, DFormula oder beides bei der Erstellung des Regler-Objekts angeben, wird standardmäßig ForwardEuler verwendet. Weitere Informationen zum Einstellen und Ändern der Formeln für den diskreten Integrator finden Sie auf den Referenzseiten für die Regler-Objekte, pid, pidstd, pid2 und pidstd2.

Erstellen eines zeitdiskreten PID-Reglers in Standardform

Dieses Beispiel zeigt, wie ein zeitdiskreter Proportional-Integral-Differential-Regler (PID-Regler) in Standardform mit K_p = 29,5, T_i = 1,13, T_d = 0,15, N = 2,3 und Abtastzeit T_s 0,1 erstellt werden kann:

C = pidstd(29.5,1.13,0.15,2.3,0.1,...
             'IFormula','Trapezoidal','DFormula','BackwardEuler')

Dieser Befehl erstellt ein pidstd-Modell mit $$IF\left(z\right)=\frac{T_s}{2}\frac{z+1}{z-1}$$ und $$DF\left(z\right)=\frac{T_{s}z}{z-1}$$.

Sie können die Formeln für den diskreten Integrator eines Reglers in Parallelform auf die gleiche Weise mit pid einstellen.

Zeitdiskreter 2-DOF PI-Regler in Standardform

Erstellen Sie einen zeitdiskreten 2-DOF PI-Regler in Standardform unter Verwendung der trapezförmigen Diskretisierungsformel. Legen Sie die Formel mit der Name,Value-Syntax fest.

Kp = 1;
Ti = 2.4;
Td = 0;    
N = Inf; 
b = 0.5;   
c = 0;      
Ts = 0.1;
C2 = pidstd2(Kp,Ti,Td,N,b,c,Ts,'IFormula','Trapezoidal')

C2 =
 
                       1     Ts*(z+1)
  u = Kp * [(b*r-y) + ---- * -------- * (r-y)]
                       Ti    2*(z-1) 

  with Kp = 1, Ti = 2.4, b = 0.5, Ts = 0.1
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time 2-DOF PI controller in standard form

Mit der Einstellung Td = 0 wird ein PI-Regler ohne Differentialanteil definiert. Wie die Anzeige zeigt, werden die Werte von N und c bei diesem Regler nicht verwendet. Auf der Anzeige ist auch ersichtlich, dass für den Integrator die Trapezformel verwendet wird.

Siehe auch

pid | pidstd | pid2 | pidstd2

Themen

• Proportional-Integral-Differential-Regler (PID-Regler)
• Two-Degree-of-Freedom PID Controllers
• What Are Model Objects?
• Store and Retrieve Model Data