Berechnen von Pi mithilfe kollidierender Massen
In diesem Beispiel wird die Leistungsfähigkeit des Solvers anhand eines bekannten physikalischen Problems veranschaulicht, indem Zehntausende instantaner Ereignisse erfasst werden, die in weniger als einer Sekunde auftreten. Auf einem eindimensionalen Pfad nähert sich eine große Masse einer kleinen Masse, die auf der abgewandten Seite von einer Wand begrenzt wird. Trifft die große Masse auf die kleine Masse, prallt die kleine Masse von der Wand ab und kehrt ihre Richtung zur großen Masse um. Jede Kollision ist perfekt elastisch. Wenn sich die große Masse der Wand nähert, kommt es immer schneller zu Kollisionen mit der kleinen Masse, bis die große Masse die Richtung umkehrt und sich schließlich schnell genug in die entgegengesetzte Richtung bewegt, sodass sie von der kleinen Masse nie eingeholt wird.
Wenn die große Masse 100^n-mal größer ist als die kleine Masse, entspricht die genaue Anzahl aller Kollisionen den ersten n+1 Ziffern von Pi. Dieses Ergebnis ergibt sich aus der Beziehung zwischen Energieerhaltung und Impulserhaltung. Stellt man die Quadratwurzeln der kinetischen Energien der beiden Massen als Funktion der orthogonalen Achsen dar, liegt das System immer auf einem Punkt entlang eines Kreisumfangs, dessen Radius von der Gesamtenergie der beiden Massen abhängt. Durch jede Kollision bewegt sich das System auf dem Kreisumfang von einer Seite zur anderen an einen neuen Punkt. Kollisionen mit der Wand führen zu einer vertikalen Bewegung des Punkts. Kollisionen mit der großen Masse führen dazu, dass sich der Punkt mit einer Neigung bewegt, die der negativen Quadratwurzel des Massenverhältnisses entspricht.
Das Modell verwendet „Hard Stop“-Blöcke mit Restitutionskoeffizienten, um die elastischen Kollisionen darzustellen. Der Solver erfasst insgesamt 31.415 Kollisionen in 0,4 Sekunden. Der Block „Collision Counter“ ist ein benutzerdefinierter Block, der zur Erfassung der Kollisionsereignisse entwickelt wurde.
Modell
Simulationsergebnisse von Scopes
Simulationsergebnisse der Simscape-Protokollierung
In dieser Abbildung sind die Positionen und Geschwindigkeiten der beiden Massen dargestellt. Sie zeigt die instantanen Geschwindigkeitsänderungen, die jedes Mal auftreten, wenn die kleine Masse mit der Wand oder der großen Masse kollidiert, sowie die Geschwindigkeitsänderung der großen Masse, wenn die kleine Masse die Richtung der großen Masse umkehrt.
Animation der Ergebnisse der Simscape-Protokollierung
In dieser Abbildung sind die Positionen der kollidierenden Massen im Zeitverlauf dargestellt. Der rote Block in der Mitte stellt die kleine Masse dar, der blaue Block am oberen Rand stellt die große Masse dar und der graue Block am unteren Rand stellt die Wand dar.
