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inv

Matrixinverse

Syntax

Y = inv(X)

Beschreibung

Y = inv(X) berechnet die Inverse einer quadratischen Matrix X.

• X^(-1) ist äquivalent zu inv(X).

• x = A\b wird anders berechnet als x = inv(A)*b und wird zur Lösung linearer Gleichungssysteme empfohlen.

Beispiele

Invertieren einer Matrix

Berechnen Sie die Inverse einer 3x3-Matrix.

X = [1 0 2; -1 5 0; 0 3 -9]

X = 3×3

     1     0     2
    -1     5     0
     0     3    -9

Y = inv(X)

Y = 3×3

    0.8824   -0.1176    0.1961
    0.1765    0.1765    0.0392
    0.0588    0.0588   -0.0980

Prüfen Sie das Ergebnis. Idealerweise generiert Y*X die Identitätsmatrix. Da inv die Matrixinversion mithilfe einer Gleitkommaberechnung ausführt, ist in der Praxis Y*X ungefähr, jedoch nicht exakt gleich der Identitätsmatrix eye(size(X)).

Y*X

ans = 3×3

    1.0000    0.0000   -0.0000
         0    1.0000   -0.0000
         0   -0.0000    1.0000

Lösen des linearen Systems

Untersuchen Sie, warum die Lösung eines linearen Systems durch Invertieren der Matrix mithilfe von inv(A)*b weniger gut ist als die direkte Verwendung des Backslash als Operator, x = A\b.

Erstellen Sie eine Zufallsmatrix A der Ordnung 500, die so aufgebaut ist, dass ihre Konditionszahl, cond(A), 1e10 und ihre Norm, norm(A), 1 ist. Die exakte Lösung x ist ein Zufallsvektor der Länge 500 und auf der rechten Seite steht b = A*x. Daher ist das System linearer Gleichungen zwar schlecht konditioniert, aber konsistent.

n = 500; 
Q = orth(randn(n,n));
d = logspace(0,-10,n);
A = Q*diag(d)*Q';
x = randn(n,1);
b = A*x;

Lösen Sie das lineare System A*x = b, indem Sie die Koeffizientenmatrix A invertieren. Verwenden Sie tic und toc, um Timing-Informationen abzurufen.

tic
y = inv(A)*b; 
t = toc

t = 
0.0160

Ermitteln Sie den absoluten Fehler und den Restfehler der Berechnung.

err_inv = norm(y-x)

err_inv = 
4.8457e-06

res_inv = norm(A*y-b)

res_inv = 
4.8952e-07

Jetzt lösen Sie dasselbe lineare System mithilfe des Backslash (\) als Operator.

tic
z = A\b;
t1 = toc

t1 = 
0.0172

err_bs = norm(z-x)

err_bs = 
3.7705e-06

res_bs = norm(A*z-b)

res_bs = 
3.7080e-15

Die Berechnung mit Backslash ist schneller und weist einen um mehrere Größenordnungen geringeren Restfehler auf. Die Tatsache, dass err_inv und err_bs beide die Größenordnung 1e-6 aufweisen, spiegelt einfach die Konditionszahl der Matrix wider.

Das Verhalten dieses Beispiels ist typisch. Die Verwendung von A\b anstelle von inv(A)*b ist zwei- bis dreimal schneller und generiert Residuen in der Größenordnung der Maschinengenauigkeit relativ zur Größenordnung der Daten.

Eingabeargumente

X — Eingabematrix

quadratische Matrix

Eingabematrix, angegeben als quadratische Matrix. Wenn X falsch skaliert oder nahezu singulär ist, verliert die Berechnung von inv an numerischer Genauigkeit. Verwenden Sie rcond oder cond, um die Konditionszahl der Matrix zu überprüfen.

Datentypen: single | double
Unterstützung komplexer Zahlen: Ja

Mehr über

Matrixinverse

Eine Matrix X ist invertierbar, wenn eine Matrix Y derselben Größe vorliegt, so dass $$XY=YX=I_n$$, wobei $$I_n$$ die nxn-Identitätsmatrix ist. Die Matrix Y wird die Inverse von X genannt.

Eine Matrix ohne Inverse ist singulär. Eine quadratische Matrix ist nur dann singulär, wenn ihre Determinante exakt null ist.

Tipps

• Es ist nur selten erforderlich, die explizite Inverse einer Matrix zu bilden. Häufig wird inv falsch verwendet, wenn das System linearer Gleichungen gelöst wird Ax = b. x = inv(A)*b ist eine Möglichkeit, die Gleichung zu lösen. Eine bessere Möglichkeit, sowohl im Hinblick auf die Ausführungszeit als auch auf die numerische Genauigkeit, ist die Verwendung des Backslash-Operators für die Matrix (x = A\b). Auf diese Weise wird die Lösung mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens generiert, ohne die Inverse explizit zu bilden. Weitere Informationen dazu finden Sie unter mldivide.

Algorithmen

inv führt eine LU-Zerlegung der Eingabematrix aus (oder eine LDL-Zerlegung, wenn es sich um eine hermitesche Eingabematrix handelt). Anschließend verwendet die Funktion die Ergebnisse, um ein lineares System zu bilden, dessen Lösung die Matrixinverse inv(X) ist. Für dünn besetzte Eingaben erstellt inv(X) eine dünn besetzte Identitätsmatrix und verwendet den Backslash, X\speye(size(X)).

Erweiterte Fähigkeiten

C/C++ Codegenerierung

Generieren Sie C und C++ Code mit MATLAB® Coder™.

Hinweise zur Verwendung und Einschränkungen:

• Eingaben für eine singuläre Matrix können unendliche Werte generieren, die sich von MATLAB^®-Ergebnissen unterscheiden.

Thread-Based Environment

Führen Sie mithilfe von MATLAB® backgroundPool den Code im Hintergrund aus oder machen Sie den Code mit der Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool schneller.

Diese Funktion bietet vollständige Unterstützung für thread-basierte Umgebungen. Weitere Informationen finden Sie unter Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

GPU-Arrays

Schnellere Codeausführung durch Ausführen auf einer Grafikkarte (GPU) mit der Parallel Computing Toolbox™.

• X darf nicht dünn besetzt sein.

• Die MATLAB-Funktion inv gibt eine Warnung aus, wenn X falsch skaliert oder nahezu singulär ist. Die gpuArray inv-Funktion kann diese Bedingung nicht überprüfen. Ergreifen Sie Maßnahmen, um diese Bedingung zu vermeiden.

Weitere Informationen finden Sie unter Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Verteilte Arrays

Partitionieren von großen Arrays über den kombinierten Speicher Ihres Clusters mit Parallel Computing Toolbox™.

Diese Funktion bietet vollständige Unterstützung für verteilte Arrays. Weitere Informationen finden Sie unter Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Versionsverlauf

Eingeführt vor R2006a

R2022a: Verbesserte Leistung beim Invertieren großer Dreiecksmatrizen

Die Funktion inv zeigt eine bessere Leistung, wenn sie für große Dreiecksmatrizen ausgeführt wird.

Beispielsweise ist die Invertierung einer oberen 5000x5000-Dreiecksmatrix etwa 3,7- mal schneller als mit dem vorherigen Release.

function timingInv
rng default
A = randn(5e3);
[~,R] = lu(A);

tic
Y = inv(R); 
toc
end

Die ungefähren Ausführungszeiten sind:

R2021b: 1,1 s

R2022a: 0,3 s

Die Ausführungszeit des Codes wurde auf einem Testsystem unter Windows^® 10 mit einem Intel^® Xeon^®-Prozessor W-2133 bei 3,60 GHz durch Aufrufen der Funktion timingInv gemessen.

Siehe auch

det | lu | rref | mldivide