polyval

R2026b

Polynomiale Auswertung

Syntax

y = polyval(coeffs,x)

[y,delta] = polyval(coeffs,x,fitStats)

y = polyval(coeffs,x,[],centerScale)

[y,delta] = polyval(coeffs,x,fitStats,centerScale)

Beschreibung

y = polyval(coeffs,x) wertet das durch den Koeffizientenvektor coeffs definierte Polynom bei jedem Punkt von x aus. Der Vektor coeffs hat die Länge n+1 und enthält die Koeffizienten eines Polynoms p n-ten Grades nach Potenz in absteigender Reihenfolge:

$$p(x)=\mathrm{coeffs}(1)\cdot x^n+\mathrm{coeffs}(2)\cdot x^{n-1}+\mathrm{...}+\mathrm{coeffs}(n)\cdot x+\mathrm{coeffs}(n+1).$$

Die polynomialen Koeffizienten in coeffs können von Funktionen wie polyint, polyder und polyfit für verschiedene Zwecke berechnet werden, Sie könne jedoch beliebige Vektoren für die Koeffizienten angeben.

Um ein Polynom im Sinne einer Matrix auszuwerten, verwenden Sie stattdessen polyvalm.

[y,delta] = polyval(coeffs,x,fitStats) verwendet die optionale Ausgabestruktur fitStats, die von polyfit erzeugt wird, um Fehlerschätzungen zu generieren. delta ist eine Schätzung des Standardfehlers bei der Prognose einer zukünftigen Beobachtung bei x von coeffs(x).

y = polyval(coeffs,x,[],centerScale) oder [y,delta] = polyval(coeffs,x,fitStats,centerScale) werten das Polynom an den normalisierten Punkten $$\frac{x-centerScale(1)}{centerScale(2)}$$ aus, wobei centerScale durch polyfit erzeugt wird. Verwenden Sie die zweite Syntax, um ein angepasstes Polynom auszuwerten und Fehlerschätzungen zu berechnen. Hierbei werden die von polyfit übernommenen Koeffizienten, Anpassungsstatistiken und Normalisierungsparameter berücksichtigt.

Beispiele

Auswerten von Polynomen an mehreren Punkten

Werten Sie das Polynom $p\left(x\right)=3x^2+2x+1$ an den Punkten $x=5,7,9$ aus. Die polynomialen Koeffizienten können durch den Vektor [3 2 1] dargestellt werden.

coeffs = [3 2 1];
x = [5 7 9];
y = polyval(coeffs,x)

y = 1×3

    86   162   262

Integrieren eines quartischen Polynoms

Auswerten des definiten Integrals

$$I={\int }_{-1}^3\left(3x^4-4x^2+10x-25\right)dx.$$

Erstellen Sie einen Vektor zur Darstellung des polynomialen Integranden $$3x^4-4x^2+10x-25$$. Der Term $x^3$ fehlt und hat dementsprechend einen Koeffizienten von 0.

coeffs = [3 0 -4 10 -25];

Verwenden Sie polyint, um das Polynom mit einer Integrationskonstante gleich 0 zu integrieren.

q = polyint(coeffs)

q = 1×6

    0.6000         0   -1.3333    5.0000  -25.0000         0

Finden Sie den Wert des Integrals, indem Sie q an den Grenzwerten der Integration auswerten.

a = -1;
b = 3;
I = diff(polyval(q,[a b]))

I = 
49.0667

Lineare Regression mit Fehlerschätzung

Passen Sie ein lineares Modell an einen Satz von Datenpunkten an und plotten Sie die Ergebnisse. Berücksichtigen Sie dabei eine Schätzung eines 95%-Vorhersageintervalls.

Erstellen Sie einige Vektoren aus Stichprobendatenpunkten (x, y). Verwenden Sie polyfit, um ein Polynom ersten Grades an die Daten anzupassen. Geben Sie zwei Ausgaben an, um die Koeffizienten für die lineare Anpassung und die Fehlerschätzstruktur zurückzugeben.

x = 0:100; 
y = -0.3*x + 2*randn(1,101); 
[coeffs,fitStats] = polyfit(x,y,1);

Werten Sie das Polynom 1. Grades an den Punkten in x aus. Geben Sie die Fehlerschätzstruktur als dritte Eingabe an, sodass polyval eine Schätzung des Standardfehlers berechnet. Die Standardfehlerschätzung wird in delta zurückgegeben.

[yfit,delta] = polyval(coeffs,x,fitStats);

Plotten Sie die Originaldaten, die lineare Anpassung und das 95%-Vorhersageintervall $yfit\pm 2\Delta$.

plot(x,y,"o")
hold on
plot(x,yfit)

xinterval = [x flip(x)];
yinterval = [yfit-2*delta flip(yfit)+2*delta];
interval = fill(xinterval,yinterval,"yellow",FaceAlpha=0.2);

legend("Sample data","First-degree polynomial","95% prediction interval")
hold off

Normalisieren der Daten zum Verbessern der numerischen Konditionierung

Erstellen Sie eine Tabelle mit den Stichproben-Populationsdaten für die Jahre 1750 bis 2000 und plotten Sie die Datenpunkte.

x = 1750:25:2000;
y = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560];

Passen Sie mithilfe von polyfit ein Polynom 5. Grades an die Punkte an. Sie können die numerische Konditionierung verbessern, indem Sie vor dem Anpassen des Polynoms den Abfragevektor normalisieren. In diesem Beispiel werden die year-Daten normalisiert und es wird ein angepasstes Polynom 5. Grades berechnet. Die Funktion gibt außerdem die für die Normalisierung verwendeten Mittel- und Skalierungswerte zurück.

[coeffsNorm,~,centerScale] = polyfit(x,y,5,Normalize=true);

Normalisieren Sie die Abfragepunkte mit derselben Mitte und Skalierung und werten Sie das Polynom anschließend aus, indem Sie beim Aufrufen der polyval-Funktion centerScale angeben. Plotten Sie dann die Ergebnisse.

yfit = polyval(coeffsNorm,x,[],centerScale);

plot(x,y,"o")
hold on
plot(x,yfit)
legend("Sample data","Fifth-degree polynomial")
hold off

Eingabeargumente

coeffs — Polynomiale Koeffizienten

Vektor

Polynomiale Koeffizienten, angegeben als Vektor. coeffs hat die Länge n+1 und enthält die polynomialen Koeffizienten nach Potenz in absteigender Reihenfolge, wobei der polynomiale Grad n ist. Beispielsweise stellt der Vektor [1 0 1] das Polynom $$x^2+1$$ dar.

Die polynomialen Koeffizienten in coeffs können von Funktionen wie polyint, polyder und polyfit berechnet werden, Sie können jedoch beliebige Vektoren für die Koeffizienten angeben. Weitere Informationen finden Sie unter Erstellen und Auswerten von Polynomen.

Datentypen: double | single
Unterstützung komplexer Zahlen: Ja

x — Abfragepunkte

Vektor

Abfragepunkte, angegeben als Vektor. polyval wertet das Polynom coeffs an den Punkten in x aus und gibt die entsprechenden Funktionswerte in y zurück.

Datentypen: double | single
Unterstützung komplexer Zahlen: Ja

fitStats — Anpassungsstatistiken

Struktur

Anpassungsstatistiken, angegeben als von polyfit zurückgegebene Struktur. Die fitStats-Struktur muss diese Felder enthalten.

Feld	Beschreibung
R	Dreiecksfaktor R (möglicherweise permutiert) aus einer QR-Zerlegung der Vandermonde-Matrix von x
df	Freiheitsgrad der Anpassung
normr	Euklidische Norm des Residuums
rsquared (seit R2024a)	Bestimmtheitskoeffizient (nicht angepasstes R-Quadrat)

centerScale — Mittel- und Skalierungswerte

Vektor mit zwei Elementen

Mittel- und Skalierungswerte zum Normalisieren der Abfragepunkte in x vor Auswertung des Polynoms, zurückgegeben als Vektor mit zwei Elementen.

Wenn Sie zum Berechnen der polynomialen Koeffizienten polyfit mit Normalize=true verwenden, geben Sie beim Aufrufen von polyval centerScale an, um die Abfragepunkte mit derselben Mitte und Skalierung zu normalisieren.

Ausgabeargumente

y — Funktionswerte

Vektor

Funktionswerte, zurückgegeben als Vektor mit derselben Größe wie die Abfragepunkte x. Der Vektor enthält das Ergebnis einer Auswertung des Polynoms coeffs bei jedem Punkt in x.

delta — Standardfehler der Prognose

Vektor

Standardfehler der Prognose, zurückgegeben als Vektor mit derselben Größe wie die Abfragepunkte x.

Im Allgemeinen entspricht ein Intervall von y ± Δ etwa einem 68-prozentigen Prognoseintervall für zukünftige Beobachtungen großer Stichproben und y ± 2Δ einem 95-prozentigen Prognoseintervall.

Wenn es sich bei den Koeffizienten in coeffs um Kleinste-Quadrat-Schätzungen handelt, die von polyfit berechnet wurden und die Fehler in der Dateneingabe für polyfit unabhängig, normal und konstantvariant sind, ist y ± Δ ein mindestens 50-prozentiges Prognoseintervall.

Erweiterte Fähigkeiten

Tall Arrays

Rechnen mit Arrays, die mehr Zeilen haben, als in den Speicher passen.

Die Funktion polyval unterstützt Tall-Arrays mit folgenden Verwendungshinweisen und Einschränkungen:

Wenn x ein Tall-Array ist, muss es ein Spaltenvektor sein.

Weitere Informationen finden Sie unter Tall-Arrays.

C/C++ Codegenerierung
Generieren Sie C und C++ Code mit MATLAB® Coder™.

GPU-Codegenerierung
Generieren von CUDA® Code für NVIDIA® Grafikprozessoren mit dem GPU Coder™.

Thread-Based Environment

Führen Sie mithilfe von MATLAB® backgroundPool den Code im Hintergrund aus oder machen Sie den Code mit der Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool schneller.

Die Funktion polyval bietet vollständige Unterstützung für Thread-basierte Umgebungen. Weitere Informationen finden Sie unter Run MATLAB Functions in Thread-Based Environment.

GPU-Arrays

Schnellere Codeausführung durch Ausführen auf einer Grafikkarte (GPU) mit der Parallel Computing Toolbox™.

Die Funktion polyval bietet vollständige Unterstützung für Grafikkarten-Arrays. Zum Ausführen der Funktion auf einer Grafikkarte geben Sie die Eingabedaten als gpuArray (Parallel Computing Toolbox) an. Weitere Informationen finden Sie unter Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Verteilte Arrays

Partitionieren von großen Arrays über den kombinierten Speicher Ihres Clusters mit Parallel Computing Toolbox™.

Die Funktion polyval bietet vollständige Unterstützung für verteilte Arrays. Weitere Informationen finden Sie unter Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Versionsverlauf

Eingeführt vor R2006a

Siehe auch

Funktionen

• polyfit | polyvalm | polyder | polyint

Themen

• Erstellen und Auswerten von Polynomen
• Programmatic Fitting
• Lineare Regression mit einer Prädiktorvariable