Überblick über die Systemidentifikation

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Die Systemidentifikation ist eine Methodik zum Erstellen mathematischer Modelle dynamischer Systeme mithilfe von Messungen der Eingangs- und Ausgangssignale des Systems.

Für die Systemidentifikation müssen Sie wie folgt vorgehen:

Messen Sie die Eingangs- und Ausgangssignale Ihres Systems in der Zeit- oder Frequenzdomäne.
Wählen Sie eine Modellstruktur aus.
Wenden Sie eine Schätzmethode an, um Werte für die anpassbaren Parameter in der möglichen Modellstruktur zu schätzen.
Werten Sie das geschätzte Modell aus, um festzustellen, ob das Modell für Ihre Anwendungsanforderungen geeignet ist.

Dynamische Systeme und Modelle

In einem dynamischen System sind die Werte der Ausgangssignale sowohl von den Augenblickswerten der Eingangssignale als auch vom bisherigen Verhalten des Systems abhängig. Ein Autositz beispielsweise ist ein dynamisches System – die Sitzform (Einschwingposition) hängt sowohl vom aktuellen Gewicht des Fahrgasts (Augenblickswert) als auch davon ab, wie lange der Fahrgast im Auto gefahren ist (bisheriges Verhalten).

Ein Modell ist eine mathematische Beziehung zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrößen des Systems. Modelle dynamischer Systeme werden in der Regel als Differenzial- oder Differenzengleichungen, Transferfunktionen, Zustandsraumgleichungen und Pol-Nullstellen-Verstärkungs-Modelle beschrieben.

Sie können dynamische Modelle in zeitkontinuierlicher oder zeitdiskreter Form darstellen.

Ein häufig verwendetes Beispiel für ein dynamisches Modell ist die Gleichung der Bewegung eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems. Wie in der folgenden Abbildung veranschaulicht, bewegt sich die Masse als Reaktion zur Kraft F(t), die auf die Grundfläche einwirkt, an der die Masse befestigt ist. Eingang und Ausgang dieses Systems entsprechen der Kraft F(t) bzw. Verschiebung y(t).

Beispiel für ein zeitkontinuierliches dynamisches Modell

Sie können dasselbe physikalische System in Form mehrerer äquivalenter Modelle darstellen. Beispielsweise können Sie das Masse-Feder-Dämpfer-System zeitkontinuierlich als Differenzialgleichung zweiter Ordnung darstellen:

$m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + c \frac{d y}{d t} + k y (t) = F (t)$

Dabei ist m die Masse, k ist die Steifigkeitskonstante der Feder und c ist der Dämpfungskoeffizient. Anhand der Lösung dieser Differenzialgleichung können Sie die Verschiebung der Masse y(t) als Funktion externer Kraft F(t) zu einer beliebigen Zeit t für bekannte Werte der Konstanten m, c und k bestimmen.

Betrachten Sie Verschiebung y(t) und Geschwindigkeit $v (t) = \frac{d y (t)}{d t}$ als Zustandsgrößen:

$x (t) = [\begin{matrix} y (t) \\ v (t) \end{matrix}]$

Sie können die vorherige Gleichung der Bewegung als Zustandsraummodell des Systems ausdrücken:

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} = A x (t) + B F (t) \\ y (t) = C x (t) \end{array}$

Die Matrizen A, B und C stehen mit den Konstanten m, c und k wie folgt in Beziehung:

$\begin{matrix} A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{matrix}] \\ B = [\begin{matrix} 0 & \frac{1}{m} \end{matrix}] \\ C = [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] \end{matrix}$

Sie können auch ein Transferfunktionsmodell des Feder-Masse-Dämpfer-Systems abrufen, indem Sie die Laplace-Transformation der Differenzialgleichung verwenden:

$G (s) = \frac{Y (s)}{F (s)} = \frac{1}{(m s^{2} + c s + k)}$

Hier ist s die Laplace-Variable.

Beispiel für ein zeitdiskretes dynamisches Modell

Angenommen, Sie können nur die Eingangs- und Ausgangsgrößen, F(t) und y(t), des Masse-Feder-Dämpfer-Systems in zeitdiskreten Instanten t = nT_s beobachten, wobei T_s ein festes Zeitintervall n = 0, 1 , 2, ... ist. Die Variablen sollen mit der Abtastzeit T_s abgetastet werden. Anschließend können Sie die Beziehung zwischen den abgetasteten Eingangs-/Ausgangsgrößen als Differenzengleichung zweiter Ordnung darstellen, z. B. wie folgt:

$y (t) + a_{1} y (t - T_{s}) + a_{2} y (t - 2 T_{s}) = b F (t - T_{s})$

Oft wird der Einfachheit halber T_s als eine Zeiteinheit verwendet und die Gleichung kann wie folgt geschrieben werden:

$y (t) + a_{1} y (t - 1) + a_{2} y (t - 2) = b F (t - 1)$

Hier sind a₁ und a₂ die Modellparameter. Die Modellparameter stehen mit den Systemkonstanten m, c und k und der Abtastzeit T_s in Beziehung.

Diese Differenzengleichung veranschaulicht die dynamische Natur des Modells. Der Verschiebungswert im Instant t hängt nicht nur vom Wert der Kraft F in einem vorherigen Instant ab, sondern auch von den Verschiebungswerten in den beiden vorherigen Instanten y(t–1) und y(t–2).

Sie können mithilfe dieser Gleichung die Verschiebung zu einer bestimmten Zeit berechnen. Die Verschiebung wird als gewichtete Summe der letzten Eingangs- und Ausgangswerte dargestellt:

$y (t) = b F (t - 1) - a_{1} y (t - 1) - a_{2} y (t - 2)$

Diese Gleichung veranschaulicht eine iterative Möglichkeit zum Generieren von Werten des Ausgangs y(t), beginnend mit den Anfangsbedingungen y(0) und y(1) und den Messwerten des Eingangs F(t). Diese Berechnung wird Simulation genannt.

Alternativ kann der Ausgangswert zu einer bestimmten Zeit t mithilfe der gemessenen Werte des Ausgangs in den beiden vorherigen Instanten und des Eingangswerts in einem vorherigen Instant berechnet werden. Diese Berechnung wird Vorhersage genannt. Weitere Informationen zur Simulation und Vorhersage mithilfe eines Modells finden Sie in den Abschnitten auf der Seite Simulation and Prediction.

Sie können auch eine zeitdiskrete Gleichung der Bewegung in den Zustandsraum- und Transferfunktionsformaten darstellen, indem Sie Transformationen ausführen, die denen im Abschnitt Beispiel für ein zeitkontinuierliches dynamisches Modell ähneln.

Verwenden gemessener Daten in der Systemidentifikation

Die Systemidentifikation verwendet die von Ihnen gemessenen Eingangs- und Ausgangssignale eines Systems, um die Werte anpassbarer Parameter in einer bestimmten Modellstruktur zu schätzen. Sie können Modelle mithilfe von Eingangs-/Ausgangssignalen aus der Zeitdomäne, Frequenzgangdaten, Zeitreihensignalen und Zeitreihenspektren erstellen.

Um ein gutes Modell Ihres Systems zu erhalten, müssen Messdaten vorliegen, die das dynamische Verhalten des Systems widerspiegeln. Die Genauigkeit Ihres Modells hängt von der Qualität Ihrer Messdaten ab, die wiederum von Ihrer Versuchsanordnung abhängig sind.

Zeitdomänendaten

Zeitdomänendaten bestehen aus den Eingangs- und Ausgangsgrößen des Systems, die Sie über einen bestimmten Zeitraum in gleichmäßigen Abtastintervallen aufzeichnen.

Wenn Sie beispielsweise die Eingangskraft F(t) und die Massenverschiebung y(t) des Feder-Masse-Dämpfer-Systems, das in Dynamische Systeme und Modelle dargestellt ist, mit einer gleichmäßigen Abtastfrequenz von 10 Hz messen, ergeben sich für die Messwerte die folgenden Vektoren:

$\begin{array}{l} u_{m e a s} = [F (T_{s}), F (2 T_{s}), F (3 T_{s}), ..., F (N T_{s})] \\ y_{m e a s} = [y (T_{s}), y (2 T_{s}), y (3 T_{s}), ..., y (N T_{s})] \end{array}$

Dabei ist T_s = 0.1 Sekunden und NT_s ist die Zeit der letzten Messung.

Wenn Sie aus diesen Daten ein zeitdiskretes Modell erstellen möchten, bieten die Datenvektoren u_meas und y_meas und die Abtastzeit T_s ausreichend Informationen zum Erstellen eines solchen Modells.

Wenn Sie ein zeitkontinuierliches Modell erstellen möchten, muss auch bekannt sein, wie sich die Eingangssignale während des Experiments zwischen den Abtastungen verhalten. Beispielsweise kann der Eingang zwischen den Abtastungen stückweise konstant (Haltefunktion nullter Ordnung) oder stückweise linear (Haltefunktion erster Ordnung) sein.

Frequenzdomänendaten

Frequenzdomänendaten stellen Messwerte der Eingangs- und Ausgangsgrößen des Systems dar, die Sie in der Frequenzdomäne aufzeichnen oder speichern. Die Frequenzdomänensignale sind Fourier-Transformationen der entsprechenden Zeitdomänensignale.

Frequenzdomänendaten können auch den Frequenzgang des Systems angeben, dargestellt durch die Menge komplexer Ansprechwerte über einen bestimmten Frequenzbereich. Der Frequenzgang beschreibt die Ausgangssignale bei sinusförmigen Eingangssignalen. Wenn das Eingangssignal eine Sinuskurve mit der Frequenz ω ist, ist auch das Ausgangssignal eine Sinuskurve mit derselben Frequenz, dessen Amplitude A(ω) mal der Amplitude des Eingangssignals ist und das eine Phasenverschiebung von Φ(ω) hinsichtlich des Eingangssignals aufweist. Der Frequenzgang ist A(ω)e^(iΦ(ω)).

Im Falle des Masse-Feder-Dämpfer-Systems können Sie die Frequenzgangdaten mithilfe einer sinusförmigen Eingangskraft bestimmen und die entsprechende Amplitudenverstärkung sowie die Phasenverschiebung der Frequenzantwort über einen Eingangsfrequenzbereich messen.

Sie können Frequenzdomänendaten verwenden, um sowohl zeitdiskrete als auch zeitkontinuierliche Modelle Ihres Systems zu erstellen.

Anforderungen an die Datenqualität

Für die Systemidentifikation müssen Ihre Daten die wichtigen Dynamiken Ihres Systems erfassen. Eine gute Versuchsanordnung stellt sicher, dass Sie die richtigen Variablen mit einer ausreichenden Genauigkeit und Dauer messen, um die zu modellierenden Dynamiken zu erfassen. Im Allgemeinen müssen Sie bei Ihrem Versuch Folgendes beachten:

Verwenden Sie Eingangssignale, die die Systemdynamiken ausreichend erregen. Beispielsweise reicht ein einziger Schritt selten als Erregung aus.
Messen Sie Daten lange genug, um die wichtigen Zeitkonstanten zu erfassen.
Richten Sie ein Datenerfassungssystem mit einem guten Signal-Rausch-Verhältnis ein.
Messen Sie Daten in geeigneten Abtastintervallen oder mit einer geeigneten Frequenzauflösung.

Sie können die Datenqualität vor dem Erstellen des Modells mithilfe der im Abschnitt Analyze Data beschriebenen Funktionen und Techniken analysieren. Beispielsweise können Sie die Eingangsspektren analysieren, um zu bestimmen, ob die Eingangssignale über die Bandbreite des Systems ausreichend Leistung bieten. Empfehlungen zur Analyse und Verarbeitung Ihrer individuellen Daten erhalten Sie über die Funktion advice.

Sie können Ihre Daten auch mit den nichtparametrischen Analysetools in dieser Toolbox analysieren, um Spitzenfrequenzen, Eingangsverzögerungen und wichtige Zeitkonstanten zu bestimmen und Nichtlinearitäten anzuzeigen. Mithilfe dieser Informationen können Sie Modellstrukturen konfigurieren, um Modelle aus den Daten zu erstellen. Weitere Informationen finden Sie unter

Erstellen von Modellen aus Daten

Modellstruktur

Eine Modellstruktur ist eine mathematische Beziehung zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrößen, die unbekannte Parameter enthält. Beispiele für Modellstrukturen sind Transferfunktionen mit anpassbaren Pol- und Nullstellen, Zustandsraumgleichungen mit unbekannten Systemmatrizen und nichtlineare parametrisierte Funktionen.

Die folgende Differenzengleichung stellt eine einfache Modellstruktur dar:

$y (k) + a y (k - 1) = b u (k)$

Hier sind a und b anpassbare Parameter.

Für den Systemidentifikationsprozess müssen Sie eine Modellstruktur auswählen und die Schätzmethoden anwenden, um die numerischen Werte der Modellparameter zu bestimmen.

Zum Auswählen der Modellstruktur können Sie einen der folgenden Ansätze verwenden:

Sie möchten ein Modell erstellen, das Ihre gemessenen Daten reproduziert und möglichst einfach ist. In der Toolbox finden Sie verschiedene mathematische Strukturen, die Sie ausprobieren können. Dieser Modellierungsansatz wird Black-Box-Modellierung genannt.
Ihr Modell, das Sie eventuell aus Grundbegriffen abgeleitet haben, soll eine bestimmte Struktur aufweisen, aber Sie kennen die numerischen Werte seiner Parameter nicht. Sie können die Modellstruktur in MATLAB^® als Gleichungssatz oder als Zustandsraumsystem darstellen und die Werte der jeweiligen Parameter aus Daten schätzen. Dieser Ansatz wird als Grey-Box-Modellierung bezeichnet.

Schätzen von Modellparametern

Die Software System Identification Toolbox™ schätzt Modellparameter, indem sie den Fehler zwischen dem Modellausgang und der gemessenen Antwort minimiert. Der Ausgang y_model des linearen Modells ergibt sich aus

y_model(t) = Gu(t)

Dabei ist G die Transferfunktion.

Um G zu bestimmen, minimiert die Toolbox die Differenz zwischen dem Modellausgang y_model(t) und dem gemessenen Ausgang y_meas(t). Das Minimierungskriterium ist eine gewichtete Norm des Fehlers v(t). Dabei gilt:

v(t) = y_meas(t) – y_model(t).

y_model(t) ist eine der folgenden Antworten:

Simulierte Antwort (Gu(t) des Modells für einen bestimmten Eingang u(t)
Vorhergesagte Antwort des Modells für einen bestimmten Eingang u(t) und bisherige Messwerte des Ausgangs (y_meas(t-1), y_meas(t-2),...)

Dementsprechend wird der Fehler v(t) auch Simulationsfehler oder Vorhersagefehler genannt. Die Schätzalgorithmen passen Parameter in der Modellstruktur G so an, dass die Norm dieses Fehlers so klein wie möglich ist.

Konfigurieren des Parameterschätzalgorithmus

Sie können den Schätzalgorithmus wie folgt konfigurieren:

Durch Konfigurieren des Minimierungskriteriums, um sich auf die Schätzung in einem gewünschten Frequenzbereich zu konzentrieren, beispielsweise um niedrigere Frequenzen stärker zu betonen und den Rauschanteil höherer Frequenzen zu vernachlässigen. Sie können das Kriterium auch so konfigurieren, dass es auf die vorgesehenen Anwendungsanforderungen für das Modell ausgerichtet ist, z. B. Simulation oder Vorhersage.
Durch Angabe von Optimierungsoptionen für iterative Schätzalgorithmen.
Die meisten Schätzalgorithmen in dieser Toolbox sind iterativ. Sie können einen iterativen Schätzalgorithmus konfigurieren, indem Sie Optionen angeben wie z. B. die Optimierungsmethode und die maximale Anzahl der Iterationen.

Weitere Informationen zum Konfigurieren des Schätzalgorithmus finden Sie im Abschnitt Options to Configure the Loss Function und in den Abschnitten zur Schätzung bestimmter Modellstrukturen.

Black-Box-Modellierung

Auswählen von Struktur und Ordnung des Black-Box-Modells

Die Black-Box-Modellierung ist hilfreich, wenn Sie primär daran interessiert sind, die Daten unabhängig von einer bestimmten mathematischen Struktur des Modells anzupassen. Die Toolbox stellt verschiedene lineare und nichtlineare Black-Box-Modellstrukturen zur Verfügung, die sich bislang als hilfreich für die Darstellung dynamischer Systeme erwiesen haben. Diese Modellstrukturen sind unterschiedlich komplex, je nachdem, wie viel Flexibilität Sie benötigen, um Dynamiken und Rauschen in Ihrem System zu berücksichtigen. Sie können eine dieser Strukturen auswählen und ihre Parameter berechnen, um die gemessenen Antwortdaten anzupassen.

Die Black-Box-Modellierung ist in der Regel ein Trial-and-Error-Prozess, bei dem Sie die Parameter verschiedener Strukturen schätzen und die Ergebnisse vergleichen. Normalerweise beginnen Sie mit der einfachen linearen Modellstruktur und arbeiten sich zu komplexeren Strukturen vor. Sie können auch eine Modellstruktur auswählen, weil Sie mit dieser Struktur vertrauter sind oder weil es bestimmte Anwendungsanforderungen gibt.

Für die einfachsten linearen Black-Box-Strukturen müssen die wenigsten Optionen konfiguriert werden:

Transferfunktion – mit einer bestimmten Anzahl von Pol- und Nullstellen
Lineares ARX-Modell – das einfachste Eingangs-/Ausgangs-Polynommodell
Zustandsraummodell – dieses können Sie schätzen, indem Sie die Anzahl der Modellzustände angeben

Für die Schätzung einiger dieser Strukturen werden auch nichtiterative Schätzalgorithmen angewandt, wodurch sich die Komplexität weiter verringert.

Sie können mithilfe der Modellordnung eine Modellstruktur konfigurieren. Die Definition der Modellordnung variiert abhängig von dem von Ihnen ausgewählten Modelltyp. Wenn Sie beispielsweise die Darstellung einer Transferfunktion ausgewählt haben, steht die Modellordnung mit der Anzahl der Pol- und Nullstellen in Beziehung. Bei der Zustandsraumdarstellung entspricht die Modellordnung der Anzahl der Zustände. In einigen Fällen, z. B. bei den Strukturen linearer ARX- und Zustandsraummodelle können Sie die Modellordnung anhand der Daten schätzen.

Wenn die einfachen Modellstrukturen zu keinen guten Modellen führen, haben Sie folgende Möglichkeiten, um komplexere Modellstrukturen auszuwählen:

Angeben einer höheren Modellordnung für dieselbe lineare Modellstruktur. Eine höhere Modellordnung erhöht die Modellflexibilität für das Erfassen komplexer Phänomene. Allerdings kann das Modell durch eine unnötig hohe Ordnung weniger zuverlässig sein.
Explizites Modellieren des Rauschens durch Einschließen des Ausdrucks He(t) wie in der folgenden Gleichung veranschaulicht:
y(t) = Gu(t) + He(t)
Hier modelliert H die additive Störung, indem die Störung als Ausgang eines linearen Systems behandelt wird, gesteuert von einer Quelle für weißes Rauschen e(t).
Die Verwendung einer Modellstruktur, die die additive Störung explizit modelliert, kann dazu beitragen, die Genauigkeit der gemessenen Komponente G zu verbessern. Außerdem ist eine solche Modellstruktur hilfreich, wenn Sie hauptsächlich an der Vorhersage zukünftiger Antwortwerte interessiert sind.
Verwendung einer anderen linearen Modellstruktur.
Siehe Linear Model Structures.
Verwendung einer nichtlinearen Modellstruktur.
Nichtlineare Modelle sind beim Erfassen komplexer Phänomene flexibler als lineare Modelle ähnlicher Ordnungen. Siehe Nonlinear Model Structures.

Letztendlich wählen Sie die einfachste Modellstruktur aus, die am besten zu Ihren gemessenen Daten passt. Weitere Informationen finden Sie unter Schätzung linearer Modelle mithilfe von „Quick Start“.

Unabhängig von der Struktur, die Sie für die Schätzung ausgewählt haben, können Sie das Modell für Ihre Anwendungsanforderungen vereinfachen. Beispielsweise können Sie die gemessene Dynamik (G) von der Rauschdynamik (H) trennen, um ein einfacheres Modell zu erhalten, das lediglich die Beziehung zwischen y und u darstellt. Sie können auch ein nichtlineares Modell um einen Arbeitspunkt linearisieren.

Verwendung nichtlinearer Modellstrukturen

Ein lineares Modell reicht oft aus, um die Systemdynamiken zu beschreiben und in den meisten Fällen hat es sich bewährt, zunächst zu versuchen, lineare Modelle anzupassen. Wenn das Ausgangssignal des linearen Modells das gemessene Ausgangssignal nicht angemessen reproduziert, müssen Sie möglicherweise ein nichtlineares Modell verwenden.

Ob eine nichtlineare Modellstruktur verwendet werden muss, können Sie beurteilen, indem Sie die Antwort des Systems auf einen Eingang plotten. Wenn Sie feststellen, dass sich die Antworten abhängig vom Eingangspegel oder vom Vorzeichen des Eingangs unterscheiden, versuchen Sie es mit einem nichtlinearen Modell. Wenn beispielsweise die Ausgangsantwort auf die Aufwärtstransformation des Eingangs schneller ist als die Antwort auf die Abwärtstransformation, ist vielleicht ein nichtlineares Modell erforderlich.

Bevor Sie das nichtlineare Modell eines Systems erstellen, von dem Sie wissen, dass es nichtlinear ist, versuchen Sie, die Eingangs- und Ausgangsgrößen so zu transformieren, dass die Beziehung zwischen den transformierten Größen linear ist. Stellen Sie sich beispielsweise ein System mit Strom und Spannung als Eingänge für einen Tauchsieder vor, wobei die Temperatur der erwärmten Flüssigkeit ein Ausgang ist. Der Ausgang hängt von den Eingängen durch die Leistung des Tauchsieders ab, was dem Produkt aus Strom und Spannung entspricht. Anstatt für dieses System mit zwei Eingängen und einem Ausgang ein nichtlineares Modell zu erstellen, können Sie eine neue Eingangsgröße kreieren, indem Sie das Produkt aus Strom und Spannung verwenden und ein lineares Modell erstellen, das die Beziehung zwischen Leistung und Temperatur beschreibt.

Wenn Sie keine Variablen-Transformationen bestimmen können, die eine lineare Beziehung zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrößen ergeben, können Sie nichtlineare Strukturen verwenden, z. B. nichtlineare ARX- oder Hammerstein-Wiener-Modelle. Eine Liste unterstützter nichtlinearer Modellstrukturen und Informationen dazu, wann diese verwendet werden, finden Sie im Abschnitt Nonlinear Model Structures.

Beispiel für eine Black-Box-Schätzung

Sie können mithilfe der App „System Identification“ oder ihrer Befehle lineare und nichtlineare Modelle unterschiedlichster Strukturen schätzen. In den meisten Fällen wählen Sie eine Modellstruktur aus und schätzen die Modellparameter mithilfe eines einzelnen Befehls.

Betrachten Sie das Masse-Feder-Dämpfer-System, das in Dynamische Systeme und Modelle beschrieben ist. Wenn die Bewegungsgleichung dieses Systems unbekannt ist, können Sie mithilfe eines Black-Box-Modellierungsansatzes ein Modell erstellen. Beispielsweise können Sie Transferfunktionen oder Zustandsraummodelle schätzen, indem Sie die Ordnungen dieser Modellstrukturen angeben.

Eine Transferfunktion ist ein Polynomverhältnis:

$G (s) = \frac{(b_{0} + b_{1} s + b_{2} s^{2} + ...)}{(1 + f_{1} s + f_{2} s^{2} + ...)}$

Im Falle des Masse-Feder-Dämpfer-Systems ist diese Transferfunktion

$G (s) = \frac{1}{(m s^{2} + c s + k)}$

also ein System ohne Nullstellen und mit 2 Polstellen.

Im zeitdiskreten Modell kann die Transferfunktion des Masse-Feder-Dämpfer-Systems gleich

$G (z^{- 1}) = \frac{b z^{- 1}}{(1 + f_{1} z^{- 1} + f_{2} z^{- 2})}$

sein, wobei die Modellordnungen der Anzahl der Koeffizienten des Zählers und des Nenners (nb = 1 und nf = 2) entsprechen und die Eingangs-/Ausgangsverzögerung gleich dem Exponenten von z^–1 mit der niedrigsten Ordnung im Zähler ist (nk = 1).

Im zeitkontinuierlichen Modell können Sie ein lineares Transferfunktionsmodell erstellen, indem Sie den Befehl tfest verwenden.

m = tfest(data,2,0)

Hier sind data Ihre gemessenen Eingangs-/Ausgangsdaten, dargestellt als iddata-Objekt, und die Modellordnung entspricht der Menge der Anzahl der Polstellen (2) und Anzahl der Nullstellen (0).

Auf ähnliche Weise können Sie mithilfe des Befehls oe die Ausgangs-Fehler-Struktur eines zeitdiskreten Modells erstellen.

m = oe(data,[1 2 1])

Die Modellordnung ist [nb nf nk] = [1 2 1]. In der Regel sind die Modellordnungen im Voraus nicht bekannt. Probieren Sie verschiedene Modellordnungswerte aus, bis Sie die Ordnungen finden, die ein akzeptables Modell ergeben.

Alternativ können Sie eine Zustandsraumstruktur auswählen, um das Masse-Feder-Dämpfer-System darzustellen und die Modellparameter mithilfe des Befehls ssest oder n4sid schätzen.

m = ssest(data,2)

Hier steht das zweite Argument 2 für die Ordnung oder die Anzahl der Zustände im Modell.

Bei der Black-Box-Modellierung benötigen Sie die Bewegungsgleichung für das System nicht – es reicht eine Schätzung der Modellordnungen.

Weitere Informationen zum Erstellen von Modellen finden Sie unter Steps for Using the System Identification App und Model Estimation Commands.

Grey-Box-Modellierung

In manchen Situationen können Sie die Modellstruktur von physikalischen Prinzipien ableiten. Beispielsweise ist die mathematische Beziehung zwischen der Eingangskraft und der resultierenden Masseverschiebung im Feder-Masse-Dämpfer-System, das in Dynamische Systeme und Modelle dargestellt ist, bekannt. In der Zustandsraumform wird das Modell wie folgt angegeben:

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} = A x (t) + B F (t) \\ y (t) = C x (t) \end{array}$

Dabei ist x(t) = [y(t);v(t)] der Zustandsvektor. Die Koeffizienten A, B und C sind Funktionen der Modellparameter:

A = [0 1; –k/m –c/m]

B = [0; 1/m]

C = [1 0]

Hier ist die Modellstruktur vollständig bekannt, aber Sie kennen die Werte ihrer Parameter m, c und k nicht.

Beim Grey-Box-Ansatz verwenden Sie die Daten, um die Werte der unbekannten Parameter Ihrer Modellstruktur zu schätzen. Sie geben die Modellstruktur durch eine Menge von Differenzial- oder Differenzengleichungen in MATLAB an und stellen eine Anfangsschätzung für die angegebenen unbekannten Parameter zur Verfügung.

Im Allgemeinen werden Grey-Box-Modelle wie folgt erstellt:

Durch Erstellen einer Modellstrukturvorlage.
Durch Konfigurieren der Modellparameter mit Anfangswerten und Zwangsbedingungen (sofern vorhanden).
Durch Anwenden einer Schätzmethode auf die Modellstruktur und Berechnen der Modellparameterwerte.

In der folgenden Tabelle finden Sie eine Zusammenfassung der Möglichkeiten, wie Sie eine Grey-Box-Modellstruktur angeben können.

Darstellung der Grey-Box-Struktur Weitere Informationen

Darstellung der Grey-Box-Struktur	Weitere Informationen
Stellen Sie die Zustandsraum-Modellstruktur als strukturiertes `idss`-Modellobjekt dar und schätzen Sie die Zustandsraummatrizen A, B und C. Sie können die Parameterwerte, z. B. m, c und k, anhand der Zustandsraummatrizen A und B berechnen. Beispiel: m = 1/B(2) und k = –A(2,1)m.	Estimate State-Space Models with Canonical Parameterization Estimate State-Space Models with Structured Parameterization
Stellen Sie die Zustandsraum-Modellstruktur als `idgrey`-Modellobjekt dar. Sie können die Werte der Parameter m, c und k direkt schätzen.	Grey-Box Model Estimation

Stellen Sie die Zustandsraum-Modellstruktur als strukturiertes idss-Modellobjekt dar und schätzen Sie die Zustandsraummatrizen A, B und C.

Sie können die Parameterwerte, z. B. m, c und k, anhand der Zustandsraummatrizen A und B berechnen. Beispiel: m = 1/B(2) und k = –A(2,1)m.

Stellen Sie die Zustandsraum-Modellstruktur als idgrey-Modellobjekt dar. Sie können die Werte der Parameter m, c und k direkt schätzen. Grey-Box Model Estimation

Auswerten der Modellqualität

Nach dem Schätzen des Modells können Sie die Modellqualität auf unterschiedliche Arten auswerten. Weitere Informationen dazu finden Sie in den folgenden Abschnitten:

Abschließend müssen Sie die Qualität Ihres Modells danach beurteilen, ob das Modell den Anforderungen Ihrer Anwendung gerecht wird. Informationen zu weiteren verfügbaren Modellanalysetechniken finden Sie unter Model Analysis.

Wenn das resultierende Modell nicht zufriedenstellend ist, können Sie Ihre Ergebnisse iterativ verbessern, indem Sie eine andere Modellstruktur ausprobieren, die Einstellungen des Schätzalgorithmus ändern oder eine zusätzliche Datenverarbeitung durchführen. Wenn sich Ihre Ergebnisse auch durch diese Änderungen nicht verbessern, müssen Sie möglicherweise Ihre Versuchsanordnung und die Verfahren zur Datenerfassung überarbeiten.

Vergleich der Modellantwort mit der gemessenen Antwort

In der Regel werten Sie die Qualität eines Modells aus, indem Sie die Modellantwort mit dem gemessenen Ausgang für dasselbe Eingangssignal vergleichen.

Angenommen, Sie verwenden einen Black-Box-Modellierungsansatz, um dynamische Modelle des Feder-Masse-Dämpfer-Systems zu erstellen. Sie probieren verschiedene Modellstrukturen und -ordnungen aus. Beispiele:

model1 = arx(data, [2 1 1]);
model2 = n4sid(data, 3)

Sie können diese Modelle mit einem bestimmten Eingang simulieren und ihre Antworten mit den gemessenen Werten der Verschiebung für denselben Eingang am realen System vergleichen. In der folgenden Abbildung werden die simulierten und gemessenen Antworten für einen Schritteingang verglichen.

Die Abbildung verdeutlicht, dass model2 besser ist als model1, da model2 eine höhere Übereinstimmung mit den Daten aufweist (65 % gegenüber 83 %).

Der Übereinstimmungsprozentsatz gibt an, inwieweit die Modellantwort mit dem gemessenen Ausgang übereinstimmt: 100 % steht dabei für eine perfekte Übereinstimmung, während 0 eine schlechte Übereinstimmung angibt (d. h., der Modellausgang weist dieselbe Übereinstimmung mit dem gemessenen Ausgang auf wie der Mittelwert des gemessenen Ausgangs).

Weitere Informationen finden Sie in den Abschnitten auf der Seite Compare Output with Measured Data.

Analysieren von Residuen

Mit der Software System Identification Toolbox können Sie Residuen analysieren, um die Modellqualität zu beurteilen. Residuen sind der Teil der Ausgangsdaten, die vom geschätzten Modell nicht erklärt werden können. Ein gutes Modell weist Residuen auf, die nicht mit früheren Eingängen korrelieren.

Weitere Informationen finden Sie in den Abschnitten auf der Seite Residual Analysis.

Analysieren der Modelunsicherheit

Wenn Sie die Modellparameter anhand von Daten schätzen, erhalten Sie deren nominale Werte, die innerhalb eines Konfidenzintervalls genau sind. Die Größe dieses Bereichs wird durch die Werte der Parameterunsicherheiten bestimmt, die während der Schätzung berechnet wurden. Die Größenordnung der Unsicherheiten ist ein Anhaltspunkt für die Zuverlässigkeit des Modells. Große Parameterunsicherheiten können die Folge unnötig hoher Modellordnungen, unzureichender Erregungspegel in den Eingangsdaten und eines schlechten Signal-Rausch-Verhältnisses in den Messdaten sein.

Sie können die Auswirkungen der Parameterunsicherheiten auf die Modellantwort in den Zeit- und Frequenzdomänen berechnen und darstellen, indem Sie Pol-Nullstellen-Zuordnungen, Bode-Antwort-Diagramme und Sprungantwort-Diagramme verwenden. Beispielsweise stellen im folgenden Bode-Diagramm eines geschätzten Modells die schattierten Bereiche die Unsicherheit in Amplitude und Phase des Frequenzgangs des Modells dar, das unter Verwendung der Unsicherheit in den Parametern berechnet wurde. Das Diagramm zeigt, dass die Unsicherheit nur im Frequenzbereich zwischen 5 bis 50 rad/s gering ist, was bedeutet, dass das Modell nur in diesem Frequenzbereich zuverlässig ist.

Weitere Informationen finden Sie unter Compute Model Uncertainty.

Weiterführende Literatur

Die Dokumentation zur System Identification Toolbox enthält Informationen, die zur Verwendung dieses Produkts erforderlich sind. Es gibt jedoch weiterführende Literatur, in der Sie mehr über bestimmte Aspekte der Systemidentifikationstheorie und -anwendungen erfahren können.

Im folgenden Buch sind Methoden für die Systemidentifikation und die physikalische Modellierung beschrieben:

Ljung, Lennart und Torkel Glad. Modeling of Dynamic Systems. Prentice Hall Information and System Sciences Series. Englewood Cliffs, NJ: PTR Prentice Hall, 1994.

Diese Bücher enthalten ausführliche Informationen zur Theorie und zu den Algorithmen der Systemidentifikation:

Ljung, Lennart. System Identification: Theory for the User. Zweite Auflage. Prentice Hall Information and System Sciences Series. Upper Saddle River, NJ: PTR Prentice Hall, 1999.
Söderström, Torsten und Petre Stoica. System Identification. Prentice Hall International Series in Systems and Control Engineering. New York: Prentice Hall, 1989.

Informationen zur Arbeit mit Frequenzdomänendaten finden Sie im folgenden Buch:

Pintelon, Rik und Johan Schoukens. System Identification. A Frequency Domain Approach. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2001. https://doi.org/10.1002/0471723134.

Informationen zur nichtlinearen Identifikation finden Sie in den folgenden Referenzen:

Sjöberg, Jonas, Qinghua Zhang, Lennart Ljung, Albert Benveniste, Bernard Delyon, Pierre-Yves Glorennec, Håkan Hjalmarsson und Anatoli Juditsky. „Nonlinear Black-Box-Modelling in System Identification: A Unified Overview.“ Automatica 31, Nr. 12 (Dezember 1995): 1691–1724. https://doi.org/10.1016/0005-1098(95)00120-8.
Juditsky, Anatoli, Håkan Hjalmarsson, Albert Benveniste, Bernard Delyon, Lennart Ljung, Jonas Sjöberg und Qinghua Zhang. „Nonlinear Black-Box Models in System Identification: Mathematical Foundations.“ Automatica 31, Nr. 12 (Dezember 1995): 1725–50. https://doi.org/10.1016/0005-1098(95)00119-1.
Zhang, Qinghua und Albert Benveniste. „Wavelet Networks.“ IEEE Transactions on Neural Networks 3, Nr. 6 (November 1992): 889–98. https://doi.org/10.1109/72.165591.
Zhang, Qinghua. „Using Wavelet Network in Nonparametric Estimation.“ IEEE Transactions on Neural Networks 8, Nr. 2 (März 1997): 227–36. https://doi.org/10.1109/72.557660.

Weitere Informationen zu Systemen und Signalen finden Sie im folgenden Buch:

Oppenheim, Alan V. und Alan S. Willsky, Signals und Systems. Upper Saddle River, NJ: PTR Prentice Hall, 1985.

Im folgenden Fachbuch sind numerische Techniken für die Parameterschätzung mithilfe der Kriterienminimierung beschrieben:

Dennis, J. E., Jr., und Robert B. Schnabel. Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations. Upper Saddle River, NJ: PTR Prentice Hall, 1983.