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rlocus

Wurzelortskurve dynamischer Systeme

Syntax

rlocus(sys)

rlocus(sys1,sys2,...)

[r,k] = rlocus(sys)

r = rlocus(sys,k)

Beschreibung

rlocus(sys) berechnet den Wurzelort des SISO-Modells sys und stellt ihn in einem Diagramm dar. Der Wurzelort liefert die Polbahnen des geschlossenen Regelkreises in Abhängigkeit von der Feedback-Verstärkung k (unter der Annahme eines negativen Feedbacks). Die Wurzelorte werden verwendet, um die Auswirkungen unterschiedlicher Feedback-Verstärkungsfaktoren auf die Polstellen des geschlossenen Regelkreises zu untersuchen. Diese Orte wiederum liefern indirekte Informationen über das Zeitverhalten und die Frequenzgänge.

Sie können rlocus verwenden, um das Wurzelortsdiagramm einer der folgenden negativen Feedback-Schleifen darzustellen, indem Sie sys wie folgt festlegen:

Wenn sys beispielsweise eine Transferfunktion ist, die durch

$$sys\left(s\right)=\frac{n\left(s\right)}{d\left(s\right)}$$

dargestellt ist, sind die Polstellen eines geschlossenen Regelkreises die Wurzeln von

$$d(s)+kn(s)=0$$

Die Wurzelortskurve zeigt die Trajektorien der Polstellen des geschlossenen Regelkreises, wenn die Feedback-Verstärkung k von 0 bis unendlich variiert. rlocus wählt adaptiv eine Reihe positiver Verstärkungsfaktoren k aus, um eine glatte Kurve zu erzeugen. Die Polstellen in der Wurzelortskurve werden mit x und die Nullstellen mit o bezeichnet.

rlocus(sys1,sys2,...) stellt die Wurzelorte mehrerer LTI-Modelle sys1, sys2,... in einem einzigen Diagramm dar. Sie können für jedes Modell eine Farbe, einen Linienstil und eine Marke festlegen. Weitere Informationen zu den Anpassungsmöglichkeiten von Diagrammen finden Sie unter rlocusplot.

[r,k] = rlocus(sys) liefert den Vektor der Feedback-Verstärkungsfaktoren k und die komplexen Wurzelorte r für diese Verstärkungsfaktoren.

r = rlocus(sys,k) verwendet den vom Benutzer angegebenen Vektor der Feedback-Verstärkungsfaktoren k, um die Polstellen des geschlossenen Regelkreises r auszugeben, die die Wurzelortskurve definieren.

Beispiele

Wurzelortskurve dynamischer Systeme

Für dieses Beispiel wird der Wurzelort des folgenden dynamischen SISO-Systems grafisch dargestellt:

$$sys(s)=\frac{2s^2+5s+1}{s^2+2s+3}.$$

sys = tf([2 5 1],[1 2 3]);
rlocus(sys)

Die Polstellen des Systems werden in der Wurzelortskurve mit x und die Nullstellen mit o bezeichnet. Sie können das Menü in der generierten Wurzelortskurve verwenden, um Gitterlinien hinzuzufügen, einen Bereich zu vergrößern oder zu verkleinern und um den Eigenschaftseditor aufzurufen, um die Kurve anzupassen.

Weitere Informationen zu den Anpassungsmöglichkeiten von Diagrammen finden Sie unter rlocusplot.

Wurzelortskurve mehrerer dynamischer Systemmodelle

Betrachten Sie in diesem Beispiel sisoModels.mat, welches die folgenden drei SISO-Modelle enthält:

• sys1 $$-$$ ein Transferfunktionsmodell

• sys2 $$-$$ ein Zustandsraummodell

• sys3 $$-$$ ein Null-Polstellen-Verstärkungsmodell

Laden Sie die Modelle aus der mat-Datei.

load('sisoModels.mat','sys1','sys2','sys3');

Erstellen Sie die Wurzelortskurve mithilfe von rlocus und legen Sie die Farbe für jedes System fest. Fügen Sie auch eine Legende zur Wurzelortskurve hinzu.

rlocus(sys1,'b',sys2,'k',sys3,'r')
hold on
legend('sys1','sys2','sys3')
hold off

Die Abbildung enthält Wurzelortskurven für alle drei Systeme im gleichen Diagramm. Weitere Informationen zur Anpassung von Diagrammen finden Sie unter rlocusplot.

Polstellen des geschlossenen Regelkreises und Feedback-Verstärkungswerte mithilfe von Wurzelort

Betrachten Sie in diesem Beispiel das folgende SISO-Transferfunktionsmodell:

$$sys(s)=\frac{3s^2+1}{9s^3+7s^2+5s+6}$$

Verwenden Sie das oben genannte Transferfunktionsmodell mit rlocus, um die Polstellen des geschlossenen Regelkreises und die zugehörigen Feedback-Verstärkungswerte zu extrahieren.

sys = tf([3 0 1],[9 7 5 6]);
[r,k] = rlocus(sys)

r = 3×53 complex
102 ×

  -0.0094 + 0.0000i  -0.0104 + 0.0000i  -0.0105 + 0.0000i  -0.0106 + 0.0000i  -0.0107 + 0.0000i  -0.0108 + 0.0000i  -0.0109 + 0.0000i  -0.0111 + 0.0000i  -0.0112 + 0.0000i  -0.0113 + 0.0000i  -0.0115 + 0.0000i  -0.0117 + 0.0000i  -0.0119 + 0.0000i  -0.0121 + 0.0000i  -0.0124 + 0.0000i  -0.0126 + 0.0000i  -0.0129 + 0.0000i  -0.0132 + 0.0000i  -0.0135 + 0.0000i  -0.0139 + 0.0000i  -0.0143 + 0.0000i  -0.0148 + 0.0000i  -0.0152 + 0.0000i  -0.0158 + 0.0000i  -0.0163 + 0.0000i  -0.0170 + 0.0000i  -0.0177 + 0.0000i  -0.0184 + 0.0000i  -0.0192 + 0.0000i  -0.0201 + 0.0000i  -0.0211 + 0.0000i  -0.0222 + 0.0000i  -0.0233 + 0.0000i  -0.0246 + 0.0000i  -0.0259 + 0.0000i  -0.0274 + 0.0000i  -0.0290 + 0.0000i  -0.0307 + 0.0000i  -0.0326 + 0.0000i  -0.0346 + 0.0000i  -0.0368 + 0.0000i  -0.0392 + 0.0000i  -0.0418 + 0.0000i  -0.0446 + 0.0000i  -0.0476 + 0.0000i  -0.0508 + 0.0000i  -0.0543 + 0.0000i  -0.0582 + 0.0000i  -0.0623 + 0.0000i  -0.0667 + 0.0000i
   0.0008 + 0.0084i   0.0006 + 0.0083i   0.0006 + 0.0082i   0.0006 + 0.0082i   0.0006 + 0.0082i   0.0006 + 0.0082i   0.0005 + 0.0082i   0.0005 + 0.0082i   0.0005 + 0.0082i   0.0005 + 0.0081i   0.0005 + 0.0081i   0.0004 + 0.0081i   0.0004 + 0.0081i   0.0004 + 0.0080i   0.0004 + 0.0080i   0.0003 + 0.0080i   0.0003 + 0.0080i   0.0003 + 0.0079i   0.0002 + 0.0079i   0.0002 + 0.0078i   0.0002 + 0.0078i   0.0002 + 0.0078i   0.0001 + 0.0077i   0.0001 + 0.0077i   0.0001 + 0.0076i   0.0000 + 0.0076i   0.0000 + 0.0075i  -0.0000 + 0.0074i  -0.0000 + 0.0074i  -0.0000 + 0.0073i  -0.0001 + 0.0073i  -0.0001 + 0.0072i  -0.0001 + 0.0071i  -0.0001 + 0.0071i  -0.0001 + 0.0070i  -0.0001 + 0.0070i  -0.0001 + 0.0069i  -0.0001 + 0.0068i  -0.0001 + 0.0068i  -0.0001 + 0.0067i  -0.0001 + 0.0067i  -0.0001 + 0.0066i  -0.0001 + 0.0066i  -0.0001 + 0.0065i  -0.0001 + 0.0065i  -0.0001 + 0.0064i  -0.0001 + 0.0064i  -0.0001 + 0.0064i  -0.0001 + 0.0063i  -0.0001 + 0.0063i
   0.0008 - 0.0084i   0.0006 - 0.0083i   0.0006 - 0.0082i   0.0006 - 0.0082i   0.0006 - 0.0082i   0.0006 - 0.0082i   0.0005 - 0.0082i   0.0005 - 0.0082i   0.0005 - 0.0082i   0.0005 - 0.0081i   0.0005 - 0.0081i   0.0004 - 0.0081i   0.0004 - 0.0081i   0.0004 - 0.0080i   0.0004 - 0.0080i   0.0003 - 0.0080i   0.0003 - 0.0080i   0.0003 - 0.0079i   0.0002 - 0.0079i   0.0002 - 0.0078i   0.0002 - 0.0078i   0.0002 - 0.0078i   0.0001 - 0.0077i   0.0001 - 0.0077i   0.0001 - 0.0076i   0.0000 - 0.0076i   0.0000 - 0.0075i  -0.0000 - 0.0074i  -0.0000 - 0.0074i  -0.0000 - 0.0073i  -0.0001 - 0.0073i  -0.0001 - 0.0072i  -0.0001 - 0.0071i  -0.0001 - 0.0071i  -0.0001 - 0.0070i  -0.0001 - 0.0070i  -0.0001 - 0.0069i  -0.0001 - 0.0068i  -0.0001 - 0.0068i  -0.0001 - 0.0067i  -0.0001 - 0.0067i  -0.0001 - 0.0066i  -0.0001 - 0.0066i  -0.0001 - 0.0065i  -0.0001 - 0.0065i  -0.0001 - 0.0064i  -0.0001 - 0.0064i  -0.0001 - 0.0064i  -0.0001 - 0.0063i  -0.0001 - 0.0063i

k = 1×53

         0    0.4201    0.4542    0.4911    0.5309    0.5740    0.6205    0.6709    0.7253    0.7841    0.8477    0.9165    0.9908    1.0712    1.1581    1.2521    1.3536    1.4634    1.5822    1.7105    1.8493    1.9993    2.1614    2.3368    2.5263    2.7313    2.9529    3.1924    3.4514    3.7313    4.0340    4.3613    4.7151    5.0975    5.5111    5.9581    6.4415    6.9640    7.5289    8.1397    8.8000    9.5138   10.2856   11.1200   12.0220   12.9973   14.0516   15.1915   16.4238   17.7561

Da sys 3 Polstellen enthält, beträgt die Größe des resultierenden Arrays der Polstellen r 3x53. Jede Spalte in r entspricht einem Verstärkungswert aus dem Vektor k. Für dieses Beispiel wählte rlocus automatisch 53 Werte von k von Null bis Unendlich, um eine glatte Bahn für die drei Polstellen des geschlossenen Regelkreises zu erhalten.

display(r(:,39))

  -3.2585 + 0.0000i
  -0.0145 + 0.6791i
  -0.0145 - 0.6791i

display(k(39))

    7.5289

So enthält z. B. r(:,39) die oben genannten Polstellen des geschlossenen Regelkreises für einen Feedback-Verstärkungswert von 7.5289.

Position der Polstellen geschlossener Regelkreise für einen Satz von Feedback-Verstärkungswerten

Betrachten Sie in diesem Beispiel das folgende SISO-Transferfunktionsmodell:

$$sys(s)=\frac{0.5s^2-1}{4s^4+3s^2+2}$$

Definieren Sie das Transferfunktionsmodell und den erforderlichen Vektor der Feedback-Verstärkungswerte. Betrachten Sie für dieses Beispiel eine Reihe von Verstärkungswerten, die von 1 bis 8 mit Inkrementen von 0,5 variieren, und extrahieren Sie die Polstellen des geschlossenen Regelkreises mit rlocus.

sys = tf([0.5 0 -1],[4 0 3 0 2]);
k = (1:0.5:5);
r = rlocus(sys,k);
size(r)

ans = 1×2

     4     9

Da sys 4 Polstellen im geschlossenen Regelkreis enthält, beträgt die Größe des resultierenden Arrays der Positionen der geschlossenen Polstellen r 4x9, wobei die 9 Spalten den 9 spezifischen Verstärkungswerten entsprechen, die in k definiert sind.

Sie können den Bahnverlauf der Polstellen des geschlossenen Regelkreises für die spezifischen Verstärkungswerte in k auch auf der Wurzelortkurve visualisieren.

rlocus(sys,k)

Eingabeargumente

sys — Dynamische SISO-Systeme.

tf-Objekt | ss-Objekt | zpk-Objekt

Dynamisches SISO-System, das als eines der folgenden Systeme angegeben wird:

• Zeitkontinuierliche oder zeitdiskrete numerische LTI-Modelle, die tf-, zpk- oder ss-Modelle umfassen.

• Verallgemeinerte oder unsichere LTI-Modelle wie z. B. genss- oder uss (Robust Control Toolbox)-Modelle. (Für die Verwendung unsicherer Modelle ist die Software Robust Control Toolbox™ erforderlich.)

  rlocus setzt Folgendes voraus:

  • aktuelle Werte der optimierbaren Komponenten für optimierbare Regelungsentwurf-Blöcke

  • nominale Modellwerte für unsichere Regelungsentwurf-Blöcke

• Identifizierte LTI-Modelle wie idtf (System Identification Toolbox)-, idss (System Identification Toolbox)-, idproc (System Identification Toolbox)-, idpoly (System Identification Toolbox)- und idgrey (System Identification Toolbox)-Modelle. (Für die Verwendung von identifizierten Modellen ist die Software System Identification Toolbox™ erforderlich.)

k — Feedback-Verstärkungswerte

Vektor

Feedback-Verstärkungswerte, die sich auf die Polstellen beziehen, angegeben als Vektor. Die Feedback-Verstärkungsfaktoren bestimmen den Bahnverlauf der Polstellen und beeinflussen damit die Form der Wurzelortskurve.

Ausgangsargumente

r — Position der Polstellen geschlossener Regelkreise

n-mal-m-Array

Positionen der Polstellen im geschlossenen Regelkreis von sys, die den einzelnen Werten in k entsprechen, zurückgegeben als n-mal-m-Array, wobei n die Anzahl der Polstellen im geschlossenen Regelkreis von sys und m = max(length(k)) ist.

k — Feedback-Verstärkungswerte

Vektor

Feedback-Verstärkungswerte, die sich auf die Polstellen beziehen, zurückgegeben als Vektor. Die Feedback-Verstärkungsfaktoren bestimmen den Bahnverlauf der Polstellen und beeinflussen damit die Form der Wurzelortskurve. Wenn k nicht vom Benutzer definiert ist, wählt rlocus adaptiv eine Reihe positiver Verstärkungsfaktoren k zwischen Null und Unendlich aus, um eine glatte Kurve zu erzeugen.

Tipps

• Informationen zu einem interaktiven Ansatz für die Darstellung von Wurzelorten finden Sie unter Control System Designer.

Versionsverlauf

Eingeführt vor R2006a

Siehe auch

rlocusplot | tf | pole | zero | ss | zpk | Control System Designer

Themen

• Root Locus Design
• Control of an Inverted Pendulum on a Cart
• DC Motor Control