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Inverse kontinuierliche Wavelet-Transformation

Die icwt-Funktion implementiert die inverse CWT. Für die Verwendung von icwt müssen Sie die CWT aus cwt abrufen.

Da es sich bei der CWT um eine redundante Transformation handelt, gibt es keine eindeutige Art und Weise, die Umkehrfunktion zu definieren. Bei der inversen CWT, die in der Wavelet Toolbox™ implementiert wird, kommen analytische Wavelets und die L1-Normierung zum Einsatz.

Die inverse CWT wird in klassischer Weise in der Doppelintegral-Form dargestellt. Angenommen, es gibt ein Wavelet ψ mit einer Fourier-Transformation, welche die Zulässigkeitsbedingung erfüllt:

Cψ=|ψ(ω)|2|ω|dω<

Bei Wavelets, die der Zulässigkeitsbedingung entsprechen, und Funktionen der endlichen Energie f(t) können Sie die inverse CWT definieren als:

f(t)=1Cψab<f(t),ψa,b(t)>ψa,b(t)dbdaa

, wobei ψa,b(t)=1aψ(tba).

Zur Analyse von Wavelets und Funktionen, die der folgenden Bedingung entsprechen, gibt es eine einzelne Integralformel für die inverse CWT.

  • Die analysierte Funktion f(t) weist eine endliche Energie auf und die Fourier-Transformation des zur Analyse herangezogenen Wavelets weist nur bei der Gruppe der nicht negativen Frequenzen einen Träger auf. Dies wird auch als analytisches Wavelet bezeichnet. Eine Funktion, deren Fourier-Transformation nur in der Gruppe der nicht negativen Frequenzen einen Träger aufweist, muss komplexwertig sein.

Bei von cwt unterstützten Wavelets handelt es sich um analytische Wavelets.

Um die einzelne Integralformel zu einzusetzen, verwenden Sie ψ1 und ψ2 als zwei Wavelets, welche die folgende Zwei-Wavelet-Zulässigkeitsbedingung erfüllen:

|ψ1*(ω)||ψ2(ω)||ω|dω<

Definieren Sie die Konstante:

Cψ1,ψ2=ψ1*(ω)ψ2(ω)|ω|dω

Die oben genannte Konstante kann komplexwertig sein. Legen Sie g(t)f(t) und als zwei Funktionen der endlichen Energie fest. Wenn die Zwei-Wavelet-Zulässigkeitsbedingung erfüllt ist, weist die u. g. Gleichung Folgendes auf:

Cψ1,ψ2<f,g>=<f,ψ1><g,ψ2>*dbdaa

, wobei < , > das innere Produkt bezeichnet, * den komplexen konjugierten Wert bezeichnet und bei ψ1 und ψ2 die Abhängigkeit von Skalierung und Position der Einfachheit halber unterdrückt wurde.

Der entscheidende Punkt bei der einzelnen Integralformel für die inverse CWT ist, zu wissen, dass die Zwei-Wavelet-Zulässigkeitsbedingung erfüllt sein kann, auch wenn eines der Wavelets nicht zulässig ist. Mit anderen Worten: Es ist nicht erforderlich, dass sowohl ψ1 als auch ψ2 einzeln zulässig sind. Außerdem können Sie die Bedingungen weiter lockern, indem Sie eine der Funktionen und Wavelets als Verteilungsfunktionen zulassen. Wenn Sie zuerst g(t) als Dirac-Delta-Funktion (eine Verteilungsfunktion) einsetzen und außerdem ψ2 als Dirac-Delta-Funktion zulassen, können Sie die einzelne Integralformel für die inverse CWT ableiten.

  • Wenn f(t) reellwertig ist, gilt

    f(t)=2Re{1Cψ1,δ0<f(t),ψ1(t)>daa}

    wobei Re{ } den Realteil darstellt.

  • Wenn f(t) komplexwertig ist, gilt

    f(t)=2Cψ1,δ<f(t),ψ1(t)>daa.

Die vorstehenden Gleichungen zeigen, dass Sie das Signal rekonstruieren können, indem Sie die skalierten CWT-Koeffizienten über allen Skalen summieren.

Durch Addieren der skalierten CWT-Koeffizienten aus bestimmten Skalen erhalten Sie eine Approximation an das ursprüngliche Signal. Dies ist in Situationen hilfreich, in denen Ihr Phänomen von Interesse auf der Skalierung lokalisiert ist.

Die Funktion icwt implementiert eine diskretisierte Version der oben genannten Integrale. Sie können auch Analysefilter verwenden, die aus einem cwtfilterbank-Objekt extrahiert wurden, um die CWT zu invertieren. In diesem Fall verwendet icwt die approximierten Synthesefilter, oder den Dualrahmen, in der Inversion.