Kontinuierliche Wavelet-Transformation als Bandfilter

CWT als Filterungstechnik

Die kontinuierliche Wavelet-Transformation (Continuous Wavelet Transform, CWT) berechnet das Skalarprodukt eines Signals $$f(t)$$ mit parallel verschobenen und dilatierten Versionen eines analysierenden Wavelets $$\psi (t).$$ Die Definition der CWT lautet:

$$C(a,b;f(t),\psi (t))={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f}(t)\frac{1}{a}{\psi }^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$$

Sie können die CWT auch als frequenzbasierte Filterung des Signals durch Umschreibung der CWT als inverse Fourier-Transformation interpretieren.

$$C(a,b;f(t),\psi (t))=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\widehat{f}}(\omega )\overline{\widehat{\psi }}(a\omega )e^{i\omega b}d\omega$$

wobei $$\widehat{f}(\omega )$$ und $$\widehat{\psi }(\omega )$$ die Fourier-Transformationen des Signals und des Wavelets sind.

An den vorherigen Gleichungen sehen Sie, dass durch zeitliches Strecken eines Wavelets dessen Träger im Frequenzbereich schrumpft. Abgesehen davon, dass der Frequenzträger schrumpft, verschiebt sich die Mittenfrequenz des Wavelets in Richtung niedrigerer Frequenzen. Die folgende Abbildung zeigt diesen Effekt für ein hypothetisches Wavelet und Skalierungsfaktoren (Dilatationsfaktoren) von 1, 2 und 4.

Hier wird die CWT als Bandfilterung des Eingangssignals dargestellt. CWT-Koeffizienten auf niedrigeren Skalierungen stellen Energie im Eingangssignal bei höheren Frequenzen dar, während CWT-Koeffizienten auf höheren Skalierungen Energie im Eingangssignal bei niedrigeren Frequenzen darstellen. Allerdings ist die Breite des Bandfilters anders als bei der Fourier-Bandfilterung bei der CWT umgekehrt proportional zur Skalierung. Die Breite der CWT-Filter nimmt bei zunehmender Skalierung ab. Dies folgt aus der Unschärferelation zwischen dem Zeit- und Frequenzträger eines Signals: je breiter der zeitliche Träger eines Signals, umso enger sein Frequenzträger. Die umgekehrte Beziehung gilt ebenfalls.

Bei der Wavelet-Transformation ist der Skalierungs- oder Dilatationsvorgang so definiert, dass die Energie erhalten bleibt. Damit während des Schrumpfens Energie erhalten bleibt, muss das Spitzenenergieniveau des Frequenzträgers ansteigen. Bei der Implementierung von cwt in Wavelet Toolbox™ kommt die L1-Normierung zum Einsatz. Der Qualitätsfaktor bzw. Q-Faktor eines Filters ist das Verhältnis seiner Spitzenenergie zur Bandbreite. Da das Schrumpfen oder Strecken des Frequenzträgers eines Wavelets zu entsprechenden Anstiegen oder Abfällen seiner Spitzenenergie führt, werden Wavelets häufig als Filter mit konstantem Q-Faktor bezeichnet.

DFT-basierte kontinuierliche Wavelet-Transformation

Die Gleichung im vorherigen Abschnitt hat die CWT als inverse Fourier-Transformation eines Produkts von Fourier-Transformationen definiert.

$$C(a,b;f(t),\psi (t))=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\stackrel{\wedge }{f}}(\omega ){\widehat{\psi }}^{*}(a\omega )e^{j\omega b}d\omega$$

Die Zeit-Variable in der inversen Fourier-Transformation ist der Translationsparameter b.

Dies legt nahe, dass Sie die CWT mit der inversen Fourier-Transformation berechnen können. Da es effiziente Algorithmen für die Berechnung der diskreten Fourier-Transformation und ihrer Inversen gibt, können Sie häufig deutliche Einsparungen erzielen, indem Sie wenn möglich fft und ifft verwenden.

Um ein Bild der CWT im Fourier-Bereich zu erhalten, beginnen Sie mit der Definition der Wavelet-Transformation:

$$<f(t),{\psi }_{a,b}(t)>=\frac{1}{a}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f}(t){\psi }^{*}(\frac{t-b}{a})dt$$

Wenn Sie Folgendes definieren:

$${\tilde{\psi }}_a(t)=\frac{1}{a}{\psi }^{*}(-t/a)$$

können Sie die Wavelet-Transformation umschreiben als

$$(f\ast {\tilde{\psi }}_a)(b)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f}(t){\tilde{\psi }}_a(b-t)dt$$

was die CWT explizit als Faltung ausdrückt.

Um die diskretisierte Version der CWT zu implementieren, gehen Sie davon aus, dass die Eingangssequenz ein Vektor der Länge N (x[n]) ist. Die diskrete Version der vorstehenden Faltung ist:

$$W_a[b]={\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x}[n]{\tilde{\psi }}_a[b-n]$$

Um die CWT zu erhalten, müssen Sie scheinbar die Faltung für jeden Wert des Verschiebungsparameters b berechnen und diesen Prozess für jede Skalierung a wiederholen.

Wenn die beiden Sequenzen jedoch kreisförmig erweitert sind (periodisiert auf Länge N), können Sie die kreisförmige Faltung als ein Produkt diskreter Fourier-Transformationen ausdrücken. Die CWT ist die inverse Fourier-Transformation des Produkts

$$W_a(b)=\frac{1}{N}\sqrt{\frac{2\pi }{\Delta t}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}\stackrel{\wedge }{X}}(2\pi k/N\Delta t)\stackrel{\wedge }{\psi }*(a2\pi k/N\Delta t)e^{j2\pi kb/N}$$

wobei Δt das Abtastintervall (die Abtastperiode) ist.

Indem Sie die CWT als inverse Fourier-Transformation ausdrücken, können Sie mit den rechnerisch effizienten Algorithmen fft und ifft die Kosten für die Berechnung von Faltungen senken.

Die cwt-Funktion implementiert die CWT.