Wählen eines Wavelets

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Es gibt zwei Typen von Wavelet-Analyse: die kontinuierliche Analyse und die Multiskalenanalyse. Welcher Typ von Wavelet-Analyse für Ihre Arbeit am besten geeignet ist, hängt davon ab, was Sie mit den Daten machen möchten. Dieses Thema konzentriert sich auf 1D-Daten, Sie können die gleichen Prinzipien jedoch auch auf 2D-Daten anwenden. Informationen zur Durchführung und Interpretation der einzelnen Analysetypen finden Sie unter Practical Introduction to Time-Frequency Analysis Using the Continuous Wavelet Transform und Practical Introduction to Multiresolution Analysis.

Zeit-Frequenz-Analyse

Wenn Sie eine detaillierte Zeit-Frequenz-Analyse durchführen möchten, entscheiden Sie sich für die kontinuierliche Wavelet-Transformation (CWT). Im Hinblick auf die Implementierung sind Skalierungen bei der CWT feiner diskretisiert als bei der diskreten Wavelet-Transformation (DWT). Weitere Informationen finden Sie unter Kontinuierliche und diskrete Wavelet-Transformationen.

Momentfrequenz

Für Signale mit schnell zunehmender Momentfrequenz ist die CWT der Kurzzeit-Fourier-Transformation (Short-time Fourier-Transformation, STFT) überlegen. In der folgenden Abbildung sind die Momentfrequenzen des hyperbolischen Chirp-Signals als gestrichelte Linien im Spektrogramm und im von CWT abgeleiteten Skalogramm dargestellt. Weitere Informationen finden Sie unter Time-Frequency Analysis and Continuous Wavelet Transform.

Lokalisieren von Transienten

Die CWT eignet sich gut zum Lokalisieren von Transienten in nichtstationären Signalen. Die folgende Abbildung zeigt, wie gut die Wavelet-Koeffizienten sich an die abrupten Änderungen im Signal anpassen. Weitere Informationen finden Sie unter Practical Introduction to Time-Frequency Analysis Using the Continuous Wavelet Transform.

Unterstützte Wavelets

Um die kontinuierliche Wavelet-Transformation Ihrer Daten zu erhalten, verwenden Sie cwt und cwtfilterbank. Beide Funktionen unterstützen die in der folgenden Tabelle aufgeführten analytischen Wavelets. Standardmäßig verwenden cwt und cwtfilterbank die verallgemeinerte Morse-Wavelet-Familie. Diese Familie wird durch zwei Parameter definiert. Sie können die Parameter variieren, um eine Vielzahl häufig verwendeter Wavelets zu erstellen. In den Zeitbereichsdiagrammen sind die rote Linie und die blauen Linien der Real- bzw. der Imaginärteil des Wavelets. Die Konturendiagramme zeigen die Wavelet-Spreizung in Zeit und Frequenz. Weitere Informationen finden Sie unter Morse Wavelets und Generalized Morse and Analytic Morlet Wavelets.

Wavelet	Merkmale	Name
Verallgemeinertes Morse-Wavelet	Kann zwei Parameter variieren, um Zeit- und Frequenspreizung zu ändern	`"morse"` (Standard)
Analytisches Morlet(Gabor)-Wavelet	Gleiche Varianz in Zeit und Frequenz	`"amor"`
Bump-Wavelet	Größere Varianz in Zeit, geringere Varianz in Frequenz	`"bump"`

Alle in der Tabelle aufgeführten Wavelets sind analytische Wavelets. Analytische Wavelets haben einseitige Spektren und sind komplexwertig im Zeitbereich. Diese Wavelets sind eine gute Wahl für Zeit-Frequenz-Analysen mit der CWT. Da die Wavelet-Koeffizienten komplexwertig sind, liefert die CWT Phaseninformationen. cwt und cwtfilterbank unterstützen analytische und anti-analytische Wavelets. Weitere Informationen finden Sie unter CWT-Based Time-Frequency Analysis.

Multiskalenanalyse

Bei einer Multiskalenanalyse (Multiresolution Analysis, MRA) wird ein Signal mit immer gröberen Skalierungen approximiert, während die Differenzen zwischen Approximationen bei fortlaufenden Skalierungen aufgezeichnet werden. Sie erstellen die Approximationen und die Differenzen anhand der diskreten Wavelet-Transformation (DWT) des Signals. Die DWT stellt eine sparsame Darstellung vieler natürlicher Signale bereit. Approximationen werden gebildet, indem das Signal mit skalierten und parallel verschobenen Kopien einer Skalierungsfunktion verglichen wird. Differenzen zwischen fortlaufenden Skalierungen, auch als Details bezeichnet, werden mithilfe von skalierten und parallel verschobenen Kopien eines Wavelets erfasst. Auf einer log₂-Skala ist die Differenz zwischen fortlaufenden Skalierungen immer 1. Bei der CWT sind die Differenzen zwischen fortlaufenden Skalierungen feiner.

Beim Generieren der MRA können Sie bei jeder Erhöhung der Skalierung eine entweder Unterabtastung (Dezimierung) der Approximation um den Faktor 2 durchführen oder auch nicht. Jede Option hat Vor- und Nachteile. Wenn Sie eine Unterabtastung durchführen, haben Sie zum Schluss die gleiche Anzahl von Wavelet-Koeffizienten wie im Originalsignal. In der dezimierten DWT sind Translationen ganzzahlige Vielfache der Skalierung. Bei der nicht dezimierten DWT sind Translationen ganzzahlige Verschiebungen. Eine nicht dezimierte DWT bietet eine redundante Darstellung der Originaldaten, jedoch nicht so redundant wie die CWT. Ihre Anwendung beeinflusst nicht nur die Wahl des Wavelets, sondern auch die zu verwendende DWT-Version.

Energieerhaltung

Wenn Energieerhaltung in der Analysephase wichtig ist, müssen Sie ein orthogonales Wavelet verwenden. Eine orthogonale Transformation dient der Energieerhaltung. Erwägen Sie die Verwendung eines orthogonalen Wavelets mit kompaktem Träger. Denken Sie daran, dass orthogonale Wavelets mit kompaktem Träger – mit Ausnahme des Haar-Wavelets – nicht symmetrisch sind. Die zugehörigen Filter sind nicht linearphasig. In dieser Tabelle werden unterstützte orthogonale Wavelets aufgeführt. Die Namen aller Wavelet-Familien finden Sie unter wavemngr("read"). Zum Aufrufen weiterer Informationen über eine bestimmte Familie, einschließlich der in der jeweiligen Familie verfügbaren Wavelets, verwenden Sie waveinfo und den Kurznamen der Familie. Beispiel: waveinfo("db").

Orthogonale Wavelet-Familie (Kurzname der Familie)	Merkmale	Wavelet-Name	Siehe auch
Best-localized Daubechies (`"bl"`)	Wavelets mit kompaktem Träger ähnlich Symlets; die Asymmetrie der Symlets wird mit der Zeit verringert, indem ein zusätzliches zweites Moment im Lauf der Zeit minimiert wird; Skalierungsfilter hat N verschwindende Momente	`"blN"`, wobei N = 7, 9 und 10	`blscalf`
Beylkin (`"beyl"`)	Hat 18 Koeffizienten und 3 verschwindende Momente.	`"beyl"`
Coiflets (`"coif"`)	Skalierungsfunktion und Wavelets haben die gleiche Anzahl verschwindender Momente N.	`"coifN"`, wobei N = 1, 2, ..., 5	`coifwavf`
Daubechies (`"db"`)	Nicht linearphasig; Energie am Anfang des Trägers konzentriert; größte Anzahl verschwindender Momente N für eine bestimmte Trägerbreite	`"dbN"`, wobei N = 1, 2, ..., 45	`dbaux`, `dbwavf`, Wavelet-Koeffizienten mit extremer Phase
Fejér-Korovkin (`"fk"`)	Filter sind so konstruiert, dass die Differenz zwischen einem gültigen Skalierungsfilter und dem idealen Sinc-Tiefpassfilter miniert wird. Filter haben N Koeffizienten und sind besonders nützlich bei diskreten (dezimierten und nicht dezimierten) Wavelet-Paket-Transformationen.	`"fkN"`, wobei N = 4, 6, 8, 14, 18, 22	`fejerkorovkin`
Haar (`"haar"`)	Symmetrisch; Sonderfall von Daubechies; nützlich für Detektion von Randbereichen	`"haar"` oder entsprechend `"db1"`
Han linear-phase moments (`"han"`)	Gekennzeichnet durch eine festgelegte Reihenfolge von Summenregeln SR und Reihenfolge von linear-phase moments LP	`"hanSR.LP"`; zur Ermittlung unterstützter Werte verwenden Sie `waveinfo` und den Kurznamen der Familie	`hanscalf`
Morris minimum-bandwidth (`"mb"`)	Orthogonale Morris minimum-bandwidth-Wavelets werden durch die Anzahl von Filterkoeffizienten (Taps) N und die in der Optimierung verwendete Ebene der diskreten Wavelet-Transformation L angegeben; bestehen keine Orthogonalitätsprüfungen in `isorthwfb`	`"mbN.L"`; zur Ermittlung unterstützter Werte verwenden Sie `waveinfo` und den Kurznamen der Familie	`mbscalf`
Symlets (`"sym"`)	Least Assymetric (am wenigsten asymmetrisch); nahezu linearphasig; N verschwindende Momente	`"symN"` für N = 2, 3, ..., 45	`symaux`, `symwavf`, Least Asymmetric Wavelet and Phase
Vaidyanathan (`"vaid"`)	Hat 24 Koeffizienten; besteht keine Orthogonalitätsprüfungen in `isorthwfb`	`"vaid"`

Abhängig davon, wie Sie Verzerrungen am Rand handhaben, bleibt bei der DWT in der Analysephase Energie möglicherweise nicht erhalten. Weitere Informationen finden Sie unter Border Effects. Bei der diskreten Wavelet-Transformation mit maximaler Überlappung modwt und der diskreten Wavelet-Paket-Transformation mit maximaler Überlappung modwpt wird Energie erhalten. Bei der Wavelet-Paket-Zerlegung dwpt wird keine Energie erhalten.

Detektion von Merkmalen

Wenn Sie eng beieinander liegende Merkmale finden möchten, wählen Sie Wavelets mit kleinerem Träger, z. B. haar, db2 oder sym2. Der Träger des Wavelets sollte klein genug sein, um die relevanten Merkmale zu trennen. Bei Wavelets mit größerem Träger ist die Detektion von eng beieinander liegenden Merkmalen häufig schwierig. Die Verwendung von Wavelets mit großem Träger kann dazu führen, dass die resultierenden Koeffizienten keine einzelnen Merkmale unterscheiden. Das obere Diagramm in der folgenden Abbildung zeigt ein Signal mit Spitzen. Das untere Diagramm zeigt die MRA-Details der ersten Ebene einer DWT mit maximaler Überlappung unter Verwendung der Wavelets haar (dicke blaue Linien) und db6 (dicke rote Linien).

Wenn Ihre Daten Transienten mit geringem Abstand aufweisen, können Sie Wavelets mit größerem Träger verwenden.

Varianzanalyse

Wenn Sie eine Varianzanalyse durchführen möchten, ist die diskrete Wavelet-Transformation mit maximaler Überlappung (MODWT) für diese Aufgabe geeignet. Die MODWT ist eine Variation der Standard-DWT.

Die MODWT erhält Energie in der Analysephase.
Die MODWT partitioniert Varianz über Skalierungen. Beispiele finden Sie unter Wavelet Analysis of Financial Data und Wavelet Changepoint Detection.
Die MODWT erfordert ein orthogonales Wavelet, z. B. ein Daubechies-Wavelet oder Symlet.
Die MODWT ist eine verschiebungsinvariante Transformation. Bei Verschiebung der Eingabedaten werden die Wavelet-Koeffizienten um denselben Wert verschoben. Die dezimierte DWT ist nicht verschiebungsinvariant. Bei Verschiebung der Eingabedaten ändern sich die Koeffizienten, und Energie kann über Skalierungen hinweg neu verteilt werden.

Weitere Informationen finden Sie unter modwt, modwtmra und modwtvar. Siehe auch Comparing MODWT and MODWTMRA.

Redundanz

Bei Verwendung der dezimierten DWT, wavedec, eines Signals mit einer orthonormalen Wavelet-Familie entsteht eine minimal redundante Darstellung des Signals. Es gibt keine Überlappung in Wavelets, weder innerhalb von Skalierungen noch skalierungsübergreifend. Die Anzahl der Koeffizienten entspricht der Anzahl der Signalabtastungen. Minimal redundante Darstellungen sind eine gute Wahl für die Komprimierung, wenn Sie Merkmale entfernen möchten, die nicht wahrgenommen werden.

Die CWT eines Signals liefert eine hochredundante Darstellung eines Signals. Es gibt eine erhebliche Überlappung zwischen Wavelets, sowohl innerhalb von Skalierungen als auch skalierungsübergreifend. Außerdem sind aufgrund der feinen Diskretisierung der Skalierungen die Kosten für die Berechnung der CWT und die Speicherung der Wavelet-Koeffizienten sehr viel höher als für die DWT. Die MODWT modwt ist ebenfalls eine redundante Transformation, allerdings ist der Redundanzfaktor normalerweise erheblich kleiner als bei der CWT. Redundanz verstärkt tendenziell Signaleigenschaften und -merkmale, die Sie untersuchen möchten, z. B. Frequenzbrüche oder andere transiente Ereignisse.

Wenn Sie für Ihre Arbeit ein Signal mit minimaler Redundanz darstellen müssen, verwenden Sie wavedec. Wenn Sie für Ihre Arbeit eine redundante Darstellung benötigen, verwenden Sie modwt oder modwpt.

Rauschunterdrückung (Entrauschen)

Ein orthogonales Wavelet wie beispielsweise ein Symlet oder ein Daubechies-Wavelet eignet sich gut für das Entrauschen von Signalen. Ein biorthogonales Wavelet kann auch eine gute Wahl für die Bildverarbeitung sein. Biorthogonale Wavelet-Filter sind linearphasig – eine wichtige Voraussetzung für die Bildverarbeitung. Bei Verwendung eines biorthogonalen Wavelets entstehen keine visuellen Verzerrungen im Bild.

Durch eine orthogonale Transformation wird weißes Rauschen nicht gefärbt. Wenn weißes Rauschen als Eingabe einer orthogonalen Transformation verwendet wird, ist auch die Ausgabe weißes Rauschen. Bei einer DWT mit einem biorthogonalen Wavelet wird weißes Rauschen gefärbt.
Eine orthogonale Transformation dient der Energieerhaltung.

Das sym4-Wavelet wird als Standard-Wavelet in wdenoise und der App Wavelet Signal Denoiser verwendet. Das biorthogonale bior4.4-Wavelet wird als Standard-Wavelet in wdenoise2 verwendet.

Komprimierung

Wenn Sie bei Ihrer Arbeit Signale oder Bilder komprimieren müssen, sollten Sie ein biorthogonales Wavelet verwenden. In dieser Tabelle werden die unterstützten biorthogonalen Wavelets mit kompaktem Träger aufgeführt.

Biorthogonale Wavelet-Familie (Kurzname der Familie)	Merkmale	Wavelet-Name	Darstellung
Biorthogonaler Spline (`"bior"`)	Kompakter Träger; symmetrische Filter; linearphasig; wird durch Nr und Nd angegeben, die Anzahl der verschwindenden Momente für die Rekonstruktions- bzw. Zerlegungsfilter	`"biorNr.Nd"`; unterstützte Werte finden Sie unter `waveinfo("bior")`
Umgekehrter biorthogonaler Spline (`"rbio"`)	Kompakter Träger; symmetrische Filter; linearphasig; wird durch Nr und Nd angegeben, die Anzahl der verschwindenden Momente für die Rekonstruktions- bzw. Zerlegungsfilter	`"rbioNd.Nr"`; unterstützte Werte finden Sie unter `waveinfo("rbio")`

Die Verwendung von zwei Skalierungsfunktion-Wavelet-Paaren – ein Paar für die Analyse und ein anderes für die Synthese – ist bei der Komprimierung hilfreich.

Biorthogonale Wavelet-Filter sind symmetrisch und linearphasig. (Siehe Least Asymmetric Wavelet and Phase.)
Die für Analysen verwendeten Wavelets können viele verschwindende Momente haben. Ein Wavelet mit N verschwindenden Momenten ist zu Polynomen des Grads N-1 orthogonal. Die Verwendung eines Wavelets mit vielen verschwindenden Momenten resultiert in einer geringeren Anzahl signifikanter Wavelet-Koeffizienten. Die Komprimierung wird verbessert.
Die für die Synthese verwendeten dualen Wavelets können eine bessere Regelmäßigkeit haben. Das rekonstruierte Signal ist glatter.

Die Verwendung eines Analysefilters, der weniger verschwindende Momente als ein Synthesefilter aufweist, kann die Komprimierung beeinträchtigen. Ein Beispiel finden Sie unter Bildrekonstruktion mit biorthogonalen Wavelets.

Bei Verwendung biorthogonaler Wavelets wird die Energie in der Analysephase nicht erhalten. Weitere Informationen finden Sie unter Orthogonal and Biorthogonal Filter Banks.

Allgemeine Überlegungen

Das Verhalten von Wavelets wird durch ihre Eigenschaften gesteuert. Abhängig von der anstehenden Aufgabe sind einige Eigenschaften ggf. wichtiger als andere.

Orthogonalität

Im Fall eines orthogonalen Wavelets wird bei der Wavelet-Transformation Energie erhalten. Mit Ausnahme des Haar-Wavelets ist kein orthogonales Wavelet mit kompaktem Träger symmetrisch. Der zugehörige Filter ist nicht linearphasig.

Verschwindende Momente

Ein Wavelet mit N verschwindenden Momenten ist zu Polynomen des Grads N-1 orthogonal. Ein Beispiel finden Sie unter Wavelets und verschwindende Momente. Zwischen der Anzahl der verschwindenden Momente und der Oszillation des Wavelets besteht ein loser Zusammenhang. Wenn die Anzahl der verschwindenden Momente steigt, wird auch die Oszillation des Wavelets größer.

Die Anzahl der verschwindenden Momente wirkt sich auch auf den Träger eines Wavelets aus. Daubechies hat bewiesen, dass ein Wavelet mit N verschwindenden Momenten einen Träger mit einer Mindestlänge von 2N-1 haben muss.

Die Namen für viele Wavelets werden aus der Anzahl der verschwindenden Momente abgeleitet. Beispielsweise ist db6 das Daubechies-Wavelet mit sechs verschwindenden Momenten und sym3 das Symlet mit drei verschwindenden Momenten. Bei Coiflet-Wavelets ist coif3 das Coiflet mit sechs verschwindenden Momenten. Bei Fejér-Korovkin-Wavelets ist fk8 das Fejér-Korovkin-Wavelet mit einem Länge-8-Filter. Die Namen für biorthogonale Wavelets werden aus der Anzahl der verschwindenden Momente abgeleitet, die das Analyse-Wavelet und das Synthese-Wavelet jeweils aufweisen. Beispielsweise ist bior3.5 das biorthogonale Wavelet mit drei verschwindenden Momenten mit Synthese-Wavelet und fünf verschwindenden Momenten im Analyse-Wavelet. Weitere Informationen finden Sie unter waveinfo und wavemngr.

Wenn die Anzahl der verschwindenden Momente N 1, 2 oder 3 beträgt, sind dbN und symN identisch.

Regelmäßigkeit

Regelmäßigkeit bezieht sich auf die Anzahl der kontinuierlichen Ableitungen einer Funktion. Der Einfachheit halber kann die Regelmäßigkeit als ein Maß für die Glätte angesehen werden. Um eine abrupte Änderung der Daten erkennen zu können, muss ein Wavelet ausreichend regelmäßig sein. Damit ein Wavelet N kontinuierliche Ableitungen hat, muss es mindestens N+1 verschwindende Momente haben. Ein Beispiel finden Sie unter Detecting Discontinuities and Breakdown Points. Wenn die Daten relativ glatt sind und nur wenige Transienten aufweisen, eignet sich eventuell ein regelmäßigeres Wavelet besser für die anstehende Aufgabe.

Referenzen

[1] Daubechies, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.

[2] Morris, Joel M, and Ravindra Peravali. “Minimum-Bandwidth Discrete-Time Wavelets.” Signal Processing 76, no. 2 (July 1999): 181–93. https://doi.org/10.1016/S0165-1684(99)00007-9.

[3] Doroslovački, M.L. “On the Least Asymmetric Wavelets.” IEEE Transactions on Signal Processing 46, no. 4 (April 1998): 1125–30. https://doi.org/10.1109/78.668562.

[4] Han, Bin. “Wavelet Filter Banks.” In Framelets and Wavelets: Algorithms, Analysis, and Applications, 92–98. Applied and Numerical Harmonic Analysis. Cham, Switzerland: Birkhäuser, 2017. https://doi.org/10.1007/978-3-319-68530-4_2.